Question

Сума другого і четвертого членів геометричної прогресії дорівнює 100. А сума третього і п'ятого 200. Чому дорівнює перший член цієї прогресії? ​

Answer 1

Ответ:

10

Объяснение:

Запишем систему уравнений:

$b_2+b_4=100\\b_3+b_5=200$

Перепишем ее, воспользовавшись формулой $b_n=b_1\times q^{n-1}$:

$b_1\times q+b_1\times q^3=100\\b_1\times q^2+b_1\times q^4=200$

Обратите внимание на решение системы!!!

Она решается в 2 строчки:

$b_1q(1+q^2)=100\\b_1q^2(1+q^2)=200\\\\\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{2}\\=>q=2$

Т.е. мы воспользовались делением одной строки системы на другую.

Откуда следует, что $b_1=10$

Answer 2

Припустимо, що перший член геометричної прогресії дорівнює a, а знаменник (спільний знаменник різниць) дорівнює r.

Тоді четвертий член геометричної прогресії дорівнює ar^3, а п'ятий член - ar^4.

Ми знаємо, що сума другого і четвертого членів дорівнює 100:

a + ar^3 = 100 .......(1)

Також, сума третього і п'ятого членів дорівнює 200:

ar^2 + ar^4 = 200 .......(2)

Тепер, ми можемо знайти значення r, віднімши рівняння (1) з рівняння (2):

(ar^2 + ar^4) - (a + ar^3) = 200 - 100

ar^2 + ar^4 - a - ar^3 = 100

ar^2 - a + ar^4 - ar^3 = 100

ar^2(1 - r) + a(r^4 - r^3) = 100

Так як ми знаємо, що ця різниця дорівнює 100, ми можемо записати:

a(r^4 - r^3) = 100 .......(3)

Ми також можемо поділити рівняння (2) на рівняння (1) для того, щоб усунути a:

(ar^2 + ar^4) / (a + ar^3) = 200 / 100

ar^2 / a + ar^4 / ar^3 = 2

r^2 + r = 2

r^2 + r - 2 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння, щоб знайти значення r:

(r + 2)(r - 1) = 0

r + 2 = 0 або r - 1 = 0

r = -2 або r = 1

Якщо r = -2, тоді рівняння (3) стає:

a((-2)^4 - (-2)^3) = a(16 - (-8)) = a(24) = 100

a = 100 / 24 ≈ 4.1667

Якщо r = 1, тоді рівняння (3) стає:

a(1^4 - 1^3) = a(1 - 1) = a(0) = 100

Це не можливо, оскільки ми не можемо ділити на 0.

Отже, єдиний припустимий значення r - це r = -2.

Тепер, ми можемо знайти перший член геометричної прогресії, підставивши значення r = -2 в рівняння (1):

a + a(-2)^3 = 100

a - 8a = 100

-7a = 100

a = -100 / 7 ≈ -14.2857

Таким чином, перший член геометричної прогресії дорівнює приблизно -14.2857.