Question

Разложи на множители x^3−x^2−2x+8.

Answer 1

Ответ:

$x^3 - x^2 - 2x + 8 = (x+2)(x^2 - 3x +4)$

Объяснение:

Можно заметить, что действительным решением уравнения

$x^3 -x^2 -2x + 8= 0$

$x^3+8 = x(x+2)$

является $x = -2$, откуда можно сделать вывод, что надо пробовать выносить множитель $(x + 2)$. Делать это можно, например, делением в столбик, однако в данном случае все довольно очевидно.

Answer 2

Давай разложим выражение $x^3 - x^2 - 2x + 8$ на множители с помощью синтетического деления или метода группировки.

Сначала давай найдем один из корней этого многочлена. Для этого можем воспользоваться методом подбора или графическим методом. Давай попробуем значение $x = 2$:

$$(2)^3 - (2)^2 - 2(2) + 8 = 0.$$

Мы нашли, что $x = 2$ является корнем многочлена. Теперь можем поделить $x^3 - x^2 - 2x + 8$ на $x - 2$ с помощью синтетического деления:

$$\begin{array}{rrrrr} 2 \,|\, & 1 & -1 & -2 & 8 \\ & & 2 & 2 & 0 \\ \hline & 1 & 1 & 0 & 8 \\ \end{array}$$

Получаем $x^3 - x^2 - 2x + 8 = (x - 2)(x^2 + x + 4)$.

Теперь можем разложить $x^2 + x + 4$ на множители. Для этого воспользуемся квадратным трехчленом. Дискриминант $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15$, что означает, что у нас будут комплексные корни. Мы можем записать:

$$x^2 + x + 4 = \left( x - \frac{-1 + \sqrt{-15}}{2} \right) \left( x - \frac{-1 - \sqrt{-15}}{2} \right).$$

Окончательное разложение:

$$x^3 - x^2 - 2x + 8 = (x - 2) \left( x - \frac{-1 + \sqrt{-15}}{2} \right) \left( x - \frac{-1 - \sqrt{-15}}{2} \right).$$