Question

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х=-2 y=2x^3+5x^2+7x+9

Answer 1

Ответ: yk=11x+21.

Объяснение:

y=2x³+5x²+7x+9     x₀=-2

yk=y(x₀)+y'(x₀)*(x-x₀)

y(-2)=2*(-2)³+5*(-2)²+7*(-2)+9=2*(-8)+5*4-7*2+9=-16+20-14+9=-1

y'=(2x³+5x²+7x+9)'=6x²+10x+7

y'(-2)=6*(-2)²+10*(-2)+7=6*4-20+7=24-20+7=11.

yk=-1+11*(x-(-2))=-1+11*(x+2)=-1+11x+22=11x+21.

yk=11x+21.

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в данной точке, нужно найти производную функции и подставить значение абсциссы точки в неё. Производная функции $y = 2x^3 + 5x^2 + 7x + 9$ будет:

$y' = 6x^2 + 10x + 7.$

Теперь подставим значение $x = -2$ в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной в данной точке:

$y'(-2) = 6(-2)^2 + 10(-2) + 7 = -8.$

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен -8. Теперь мы знаем угловой коэффициент и точку, через которую проходит касательная $(-2, 2 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 + 7 \cdot (-2) + 9 = -7)$.

Используем уравнение прямой в форме $y - y_1 = m(x - x_1)$, где $m$ - угловой коэффициент, $(x_1, y_1)$ - точка, через которую проходит касательная:

$y - (-7) = -8(x - (-2))$ $y + 7 = -8x - 16$ $y = -8x - 23.$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $y = 2x^3 + 5x^2 + 7x + 9$ в точке $(-2, -7)$ равно $y = -8x - 23$.