Question

Помогите кому не сложно!!! Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y= x^2-4x+8, y = -x+9

Answer 1

$y=x^2-4x+8\; \; ,\; \; y=-x+9\\\\x^2-4x+8=-x+9\; \; ,\; \; x^2-3x-1=0\; \; ,\\\\x_1=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx -0,3\; \; ,\; \; x_2=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3,3\\\\S=\int\limits^{(3+\sqrt{13})/2}_{(3-\sqrt{13})/2}\, (-x+9-x^2+4x-8)\, dx =\int\limits^{(3+\sqrt{13})/2}_{(3-\sqrt{13})/2}\, (3x+1-x^2)\, dx =\\\\=(\frac{3x^2}{2}+x-\frac{x^3}{3})\Big|^{(3+\sqrt{13})/2}_{(3-\sqrt{13})/2}=$

$=\frac{3(3+\sqrt{13})^2}{8}+\frac{3+\sqrt{13}}{2}-\frac{(3+\sqrt{13})^3}{24}-\frac{3(3-\sqrt{13})^2}{8}-\frac{3-\sqrt{13}}{2}+\frac{(3-\sqrt{13})^3}{24}=\\\\=\frac{1}{24}\cdot 52\sqrt{13}=\frac{13}{6}\sqrt{13}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя заданными функциями, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить интеграл от разности этих функций по соответствующим пределам.

Сначала найдем точки пересечения функций y = x^2 - 4x + 8 и y = -x + 9:

x^2 - 4x + 8 = -x + 9

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 - 3x - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение:

x = (3 ± √13) / 2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = (3 + √13) / 2 и x = (3 - √13) / 2.

Для вычисления площади между кривыми мы будем интегрировать разность функций по переменной x от меньшего значения x до большего. Площадь можно выразить как:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

Где a и b - значения x точек пересечения.

Площадь = ∫[(3 - √13) / 2, (3 + √13) / 2] ((-x + 9) - (x^2 - 4x + 8)) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[(3 - √13) / 2, (3 + √13) / 2] (-x - x^2 + 4x - 1) dx

Площадь = ∫[(3 - √13) / 2, (3 + √13) / 2] (-x^2 + 3x - 1) dx

Теперь найдем интеграл:

Площадь = [-x^3/3 + (3/2)x^2 - x] [(3 - √13) / 2, (3 + √13) / 2]

Посчитайте значение этого выражения, подставив верхний и нижний пределы интегрирования. Это даст вам площадь фигуры, ограниченной заданными функциями.