Question

При якому значенніх значення виразів х-1, 1- 2x i x+7 будуть послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть членицієї прогресії.​

Answer 1

За характеристичною властивістю геометричної прогресії, будь-який член геометричної прогресії в квадраті дорівнює добутку своїх сусідів:

(1-2x)^2 = (x-1)(x+7)

1 - 4x + 4x^2 = x^2 + 7x - x - 7

3x^2 - 10x + 8 = 0

D = 100 - 4*3*8 = 100 - 96 = 4 = 2^2

x1 = (10 + 2)/6 = 2

x2 = (10 - 2)/6 = 4/3

Якщо х = 2, то х - 1 = 1, 1 - 2х = -3, х + 7 = 9.

Якщо х = 4/3, то х - 1 = 1/3, 1 - 2х = -5/3, х + 7 = 25/3.

Answer 2

Для того щоб вирази $x - 1$, $1 - 2x$ і $x + 7$ були послідовними членами геометричної прогресії, вони повинні задовольняти умову геометричної прогресії, де відношення будь-яких двох сусідніх членів є постійним:

$\frac{{1 - 2x}}{{x - 1}} = \frac{{x + 7}}{{1 - 2x}}.$

Перше рівняння відношення між першим і другим членами прогресії, а друге рівняння - відношення між другим і третім членами.

Розглянемо перше рівняння:

$\frac{{1 - 2x}}{{x - 1}} = \frac{{x + 7}}{{1 - 2x}}.$

Перемножимо знаменники та чисельники обох сторін, отримаємо:

$(1 - 2x)^2 = (x + 7)^2.$

Розкриємо квадрати:

$1 - 4x + 4x^2 = x^2 + 14x + 49.$

Спростимо рівняння:

$4x^2 + 14x + 48 = 0.$

Розділимо обидві сторони на 2:

$2x^2 + 7x + 24 = 0.$

Це квадратне рівняння не має раціональних коренів, тому його розв'язків відносно $x$ виразити аналітично не вдасться. Проте, ми можемо використовувати чисельні методи для знаходження чисельних значень $x$, при яких вирази $x - 1$, $1 - 2x$ і $x + 7$ будуть у геометричній прогресії.