Question

2. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума: а) f(х) = х3 + 6 х2 – 15х -3; б) f(х) = 8 sin2х + 2 cos 2х +

Answer 1

Ответ:

Второй не знаю как решить, сорри)

Answer 2

Для того чтобы найти критические точки функции и определить их характер (максимум или минимум), нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.

а) Функция: f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 3

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 + 12x - 15

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение: 3x^2 + 12x - 15 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, можно поделить все его члены на 3: x^2 + 4x - 5 = 0

Факторизуем его или воспользуемся квадратным корнем: (x + 5)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: -5 и 1.

3. Теперь нужно определить характер критических точек. Для этого можем использовать вторую производную: f''(x) = 6x + 12

• Для x = -5: f''(-5) = 6*(-5) + 12 = -18. Это отрицательное значение, следовательно, это точка максимума.
• Для x = 1: f''(1) = 6*1 + 12 = 18. Это положительное значение, следовательно, это точка минимума.

Итак, точка (-5) - максимум, а точка (1) - минимум.

б) Функция: f(x) = 8sin^2(x) + 2cos^2(x)

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 16sin(x)cos(x) - 4cos(x)sin(x) = 12sin(x)cos(x)

2. Критические точки находятся в тех значениях x, при которых производная равна нулю: 12sin(x)cos(x) = 0

Это уравнение выполняется, когда sin(x) = 0 или cos(x) = 0. Такие точки соответствуют значениям x, которые кратны pi/2 и pi.

3. Для определения характера этих точек, снова можно использовать вторую производную, но в данном случае она не требуется, так как функция f(x) представляет собой сумму квадратов синуса и косинуса, которые всегда неотрицательны. Следовательно, нет точек максимума, только точки минимума.

Итак, в случае функции f(x) = 8sin^2(x) + 2cos^2(x) все критические точки будут точками минимума.