Question

Реши уравнение 5sinx+17cosx=√314. (Не сокращай!)

Answer 1

Ответ:

x=arcctg(3.4)

Объяснение:

5sinx+17cosx=√314.

• Возведем в квадрат.

25sin²x + 289cos²x + 170sinxcosx = 314.

25sin²x + 289cos²x + 170sinxcosx = 314(sin²x + cos²x)

• Разделим на cos²x. (Прим:  $\frac{cos^{2} x}{sin^{2} x} = ctg^{2}x$)

25 +  + 289 ctg²x + 170ctgx = 314 + 314ctg²x

314ctg²x - 289 ctg²x - 170ctgx + 314-25 = 0

25 ctg²x - 170ctgx + 289 = 0.

• Заметим формулу a² - 2ab + b². Свернем по этой формуле.

(5ctgx - 17)² = 0

• Найдем корни данного уравнения:

±(5ctgx - 17)=0

• Разбиваем на два уравнения

5ctgx - 17 = 0 и -5ctgx + 17 = 0

• Заметим, что это одно и то же. Решим первое уравнение.

5ctgx =17

ctgx = 17/5 =3.4

x=arcctg(3.4)

Answer 2

Для решения уравнения $5\sin(x) + 17\cos(x) = \sqrt{314}$ нам потребуется использовать тригонометрические свойства и тригонометрические функции. Начнем с того, что разделим обе стороны уравнения на $\sqrt{5^2 + 17^2}$, чтобы получить коэффициенты перед $\sin(x)$ и $\cos(x)$ в треугольнике с этими сторонами:

$\frac{5}{\sqrt{5^2 + 17^2}} \sin(x) + \frac{17}{\sqrt{5^2 + 17^2}} \cos(x) = \frac{\sqrt{314}}{\sqrt{5^2 + 17^2}}.$

Далее, вспомним, что $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ и $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$, где $c$ - гипотенуза прямоугольного треугольника, $a$ и $b$ - катеты, а $\alpha$ - угол между гипотенузой и катетом $a$. В данном случае $a = 5$, $b = 17$, $c = \sqrt{5^2 + 17^2}$. Подставим эти значения:

$\sin(x) = \frac{5}{\sqrt{5^2 + 17^2}},$ $\cos(x) = \frac{17}{\sqrt{5^2 + 17^2}}.$

Теперь мы можем переписать уравнение в виде:

$\sin(x) + \cos(x) = \frac{\sqrt{314}}{\sqrt{5^2 + 17^2}}.$

Используя свойство $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$, где $\alpha$ и $\beta$ - углы, получим:

$\sin(x + \arctan(17/5)) = \frac{\sqrt{314}}{\sqrt{5^2 + 17^2}}.$

Теперь, чтобы найти $x$, применим обратные функции. Нам нужно найти $\arcsin$ от обеих сторон уравнения:

$x + \arctan(17/5) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{314}}{\sqrt{5^2 + 17^2}}\right).$

И, наконец, выразим $x$:

$x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{314}}{\sqrt{5^2 + 17^2}}\right) - \arctan(17/5).$