Question

a)cos2x-5sinx+6=0 б)3cos2x=4-11cosx в)cos2x=6sinx-5=0 г)cos2x-5sinx+6=0

Answer 1

А)
$\displaystyle cos2x-5sinx+6=0\\\\(1-2sin^2x)-5sinx+6=0\\\\-2sin^2x-5sinx+7=0\\\\2sin^2x+5sinx-7=0\\\\D=25+56=81\\\\sinx= \frac{-5\pm 9}{4}\\\\ sinx=1; sin x \neq - \frac{7}{2}\\\\sinx=1\\\\x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n; n\in Z$

б)
$\displaystyle 3cos2x=4-11cosx\\\\3(2cos^2x-1)+11cosx-4=0\\\\6cos^2x+11cosx-7=0\\\\D=121+168=289=17^2\\\\cosx= \frac{-11\pm 17}{12}\\\\cosx= \frac{1}{2}; cosx \neq - \frac{7}{3}\\\\cosx= \frac{1}{2}\\\\x=\pm \frac{ \pi }{3}+2 \pi n; n\in Z$

в)
$\displaystyle cos2x+6sinx-5=0\\\\(1-2sin^2x)+6sinx-5=0\\\\-2sin^2x+6sinx-4=0\\\\2sin^2x-6sinx+4=0\\\\D=36-32=4\\\\sinx= \frac{6\pm 2}{4}\\\\sinx=1; sinx \neq 2\\\\sinx=1\\\\x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n; n\in Z$

г) смотри а)

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение поочередно.

a) \( \cos(2x) - 5\sin(x) + 6 = 0 \)

Для начала, давайте воспользуемся формулами двойного угла:

\[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ 2\cos^2(x) - 1 - 5\sin(x) + 6 = 0 \]

Упростим:

\[ 2\cos^2(x) - 5\sin(x) + 5 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( \cos(x) \). Решим его, например, используя квадратное уравнение:

\[ \cos(x) = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} \]

\[ \cos(x) = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 40}}{4} \]

\[ \cos(x) = \frac{5 \pm \sqrt{-15}}{4} \]

Так как подкоренное выражение отрицательное, у уравнения нет действительных корней. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.

b) \(3\cos(2x) = 4 - 11\cos(x)\)

Используем формулу двойного угла и упростим уравнение:

\[ 3(2\cos^2(x) - 1) = 4 - 11\cos(x) \]

\[ 6\cos^2(x) - 3 = 4 - 11\cos(x) \]

\[ 6\cos^2(x) + 11\cos(x) - 7 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ \cos(x) = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7)}}{2 \cdot 6} \]

\[ \cos(x) = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 168}}{12} \]

\[ \cos(x) = \frac{-11 \pm \sqrt{289}}{12} \]

\[ \cos(x) = \frac{-11 \pm 17}{12} \]

Таким образом, у нас есть два значения для \( \cos(x) \):

1. \( \cos(x) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) 2. \( \cos(x) = \frac{-28}{12} = -\frac{7}{3} \)

Теперь, чтобы найти значения \( x \), нужно использовать арккосинус:

1. \( x = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \) 2. \( x = \arccos\left(-\frac{7}{3}\right) \) - здесь у нас проблема, так как арккосинус не определен для значения меньше -1 или больше 1. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.

в) \( \cos(2x) = 6\sin(x) - 5 = 0 \)

Перепишем уравнение, используя формулу двойного угла:

\[ 2\cos^2(x) - 1 = 6\sin(x) - 5 \]

Упростим:

\[ 2\cos^2(x) = 6\sin(x) - 4 \]

Теперь воспользуемся тождеством \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \):

\[ 2(1 - \sin^2(x)) = 6\sin(x) - 4 \]

\[ 2 - 2\sin^2(x) = 6\sin(x) - 4 \]

\[ 2\sin^2(x) - 6\sin(x) + 6 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение:

\[ \sin(x) = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} \]

\[ \sin(x) = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{4} \]

\[ \sin(x) = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{4} \]

Как и в случае уравнения (a), подкоренное выражение отрицательное, поэтому у уравнения нет действительных корней.

г) \( \cos(2x) - 5\sin(x) + 6 = 0 \)

Мы уже решали аналогичное уравнение в пункте (a), и пришли к выводу, что это уравнение не имеет действительных корней.