Question

Найдите разность восьмого и шестого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 16. А произведение второго и двенадцатого членов этой прогрессии равно 28

Answer 1

Вроде бы правильный ответ.

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $a$, а знаменатель прогрессии (отношение между соседними членами) равен $q$.

Тогда восьмой член геометрической прогрессии будет $a \cdot q^7$, а шестой член $a \cdot q^5$.

Известно, что сумма восьмого и шестого членов равна 16:

$a \cdot q^7 + a \cdot q^5 = 16$

А также известно, что произведение второго и двенадцатого членов равно 28:

$a \cdot q^1 \cdot a \cdot q^{11} = 28$

Сократим $a$ и решим второе уравнение относительно $q$:

$q^1 \cdot q^{11} = 28$ $q^{12} = 28$ $q = \sqrt[12]{28}$

Теперь подставим значение $q$ в первое уравнение:

$a \cdot (\sqrt[12]{28})^7 + a \cdot (\sqrt[12]{28})^5 = 16$

Обозначим $\sqrt[12]{28}$ как $x$:

$a \cdot x^7 + a \cdot x^5 = 16$

$a (x^7 + x^5) = 16$

$a = \frac{16}{x^7 + x^5}$

Теперь можем найти разность между восьмым и шестым членами:

Разность $= a \cdot q^7 - a \cdot q^5$ $= a \cdot (\sqrt[12]{28})^7 - a \cdot (\sqrt[12]{28})^5$ $= \frac{16}{x^7 + x^5} \cdot x^7 - \frac{16}{x^7 + x^5} \cdot x^5$ $= \frac{16 \cdot x^7 - 16 \cdot x^5}{x^7 + x^5}$

Таким образом, разность между восьмым и шестым членами геометрической прогрессии равна:

$= \frac{16 \cdot x^7 - 16 \cdot x^5}{x^7 + x^5}$