Question

Решите систему квадратных неравенств x²-x-30≤0 и x²+x-20≥0

Answer 1

Объяснение:

{ x^2 - x - 30 ≤ 0

{ x^2 + x - 20 ≥ 0

Раскладываем на множители:

{ (x-6)(x+5) ≤ 0

{ (x+5)(x-4) ≥ 0

Решаем методом интервалов:

{ x € [-5; 6]

{ x € (-oo; -5] U [4; +oo)

Получаем:

Ответ: x € [-5] U [4; 6]

Answer 2

Давайте начнем с решения первого неравенства:

x² - x - 30 ≤ 0

Сначала найдем корни квадратного уравнения x² - x - 30 = 0, чтобы найти значения x, при которых выражение меняет знак:

x² - x - 30 = 0 (x - 6)(x + 5) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 6 и x = -5.

Теперь посмотрим на знаки выражения x² - x - 30 в разных интервалах, используя тестовые точки:

Подставим x = -6 (взяли точку до -5): (-6)² - (-6) - 30 = 0 + 6 - 30 = -24 < 0

Подставим x = 0 (между -5 и 6): 0² - 0 - 30 = -30 < 0

Подставим x = 7 (после 6): 7² - 7 - 30 = 49 - 7 - 30 = 12 > 0

Из этого следует, что неравенство x² - x - 30 ≤ 0 выполняется на интервалах [-5, 6].

Теперь перейдем ко второму неравенству:

x² + x - 20 ≥ 0

Снова найдем корни квадратного уравнения x² + x - 20 = 0:

x² + x - 20 = 0 (x + 5)(x - 4) = 0

Отсюда получаем два корня: x = -5 и x = 4.

Аналогично проведем анализ знаков выражения x² + x - 20 в разных интервалах:

Подставим x = -6 (перед -5): (-6)² + (-6) - 20 = 0 - 6 - 20 = -26 < 0

Подставим x = 0 (между -5 и 4): 0² + 0 - 20 = -20 < 0

Подставим x = 5 (после 4): 5² + 5 - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 > 0

Из этого следует, что неравенство x² + x - 20 ≥ 0 выполняется на интервалах [-∞, -5] и [4, ∞].

Итак, решение системы неравенств x² - x - 30 ≤ 0 и x² + x - 20 ≥ 0 состоит в пересечении интервалов [-5, 6] и [4, ∞], то есть результатом будет интервал [4, 6].