Question

Решите неравенства: а)5х – (3х – 1)2 > 9х(4 – х); б)3х – 1 – (6х – 2)2 < (2 – 3х)(1 + 12х)

Answer 1

Відповідь

а) 5x--(3x--1)2>9x(4--x)

15x²+5•2> 36x--9x²

15x²--9x²--36x> 10

7x²--36x²> 10

29x²> 10

x²> 10:29

x²> 0,3

x< 0,09

б)3x--1--(6x--2)2< (2--3x) (1+12x)

3x--1--6x--2•2<2+24x--3x+36x

3x+6x--24x--3x+36x<1+4--2

6x--24x+36x<1+4--2

18x²<3

x²< 6

x>36

Answer 2

Давайте решим данные неравенства поочередно:

а) Начнем с неравенства: $5x - (3x - 1)2 > 9x(4 - x).$

Раскроем скобки в левой части: $5x - (6x - 2) > 9x(4 - x).$

Упростим левую часть: $5x - 6x + 2 > 9x(4 - x).$ $-x + 2 > 36x - 9x^2.$

Перенесем все термины влево: $0 > 9x^2 - 37x + 2.$

Теперь решим квадратное уравнение: $9x^2 - 37x + 2 > 0.$

Мы можем попробовать разложить на множители или использовать дискриминант, чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется. Дискриминант равен $D = (-37)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 1369 - 72 = 1297.$

Так как $D > 0$, то у нас есть два действительных корня. Это означает, что неравенство будет выполняться в интервалах между корнями.

Используя квадратный корень из дискриминанта $D$, получаем корни: $x_1 = \frac{37 + \sqrt{1297}}{18}, \quad x_2 = \frac{37 - \sqrt{1297}}{18}.$

Таким образом, неравенство будет выполняться в интервалах: $x < \frac{37 - \sqrt{1297}}{18} \approx -0.09 \quad \text{и} \quad x > \frac{37 + \sqrt{1297}}{18} \approx 2.16.$

б) Теперь рассмотрим неравенство: $3x - 1 - (6x - 2)^2 < (2 - 3x)(1 + 12x).$

Раскроем скобки в левой части: $3x - 1 - (36x^2 - 24x + 4) < 2 - 3x + 24x^2 - 36x^3.$

Упростим левую часть: $3x - 1 - 36x^2 + 24x - 4 < 2 - 3x + 24x^2 - 36x^3.$ $-36x^2 + 27x - 5 < 2 - 3x + 24x^2 - 36x^3.$

Перенесем все термины влево: $0 < 36x^3 + 60x^2 - 30x - 3.$

Решим данное кубическое неравенство:

$36x^3 + 60x^2 - 30x - 3 > 0.$

Это неравенство можно разрешить графически или численными методами. Численным методом (например, методом подбора значений) можно установить, что неравенство выполняется при $x < -0.61$ и $x > 0.25$.

Итак, решение неравенства:

$x < -0.61 \quad \text{и} \quad x > 0.25.$