Question

Найти производную и градиент функции в точке M1 по направлению вектора M1M2: u=x*корень квадратный из y-yz^2 M1(2;1;-1) М2(0;2;0)

Answer 1

Задана функция трёх переменных  $u=u(x,y,z)$  в явном виде .

$u=x\sqrt{y}-y\, z^2\; \; ,\; \; M_1(2,1,-1)\; \; ,\; \; M_2(0,2,0)\\\\\vec {l}=\overline {M_1M_2}=(-2,1,1)\; \; ,\; \; |\vec{l}\, |=|\overline {M_1M_2}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt6\\\\cos\alpha =-\dfrac{2}{\sqrt6}\; ,\; \; cos\beta =\dfrac{1}{\sqrt6}\; ,\; \; cos\gamma =\dfrac{1}{\sqrt6}\\\\u'_{x}=\sqrt{y}\; \; ,\; \; u'_{y}=x\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{y}}-z^2\; \; ,\; \; u'_z}=-2yz\\\\u'_{x}(M_1)=1\; \; ,\; \; u'_{y}(M_1)=1-1=0\; \; ,\; \; u'_{z}(M_1)=2\\\\\overline {grad\, u(x,y)}=(u'_{x}\, ;\, u'_{y}\, ;\, u'_{z})$

Направление наибольшего возрастания функции в точке М1 совпадает с направлением градиента функции в этой точке. Наибольшая скорость возрастания функции в данной точке совпадает с модулем градиента в этой точке.

$\overline {grad\, u(x,y)}\Big|_{M_1}=\Big(\, 1;0;2\Big)\; \; ,\; \; \Big|\overline {grad\, u(x,y)}\Big|_{M_1}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt5$

Производная по направлению вектора  $\vec {l}\; :$

$\dfrac{u(x,y)}{\partial\vec {l}}=u'_{x}\cdot cos\alpha +u'_{y}\cdot cos\beta +u'_{z}\cdot cos\gamma$

$\dfrac{\partial\, u}{\partial \vec{l}}\Big|_{M_1}=1\cdot (-\frac{2}{\sqrt6})+0\cdot \dfrac{1}{6}+2\cdot \dfrac{1}{\sqrt6}=0$

Answer 2

Чтобы найти производную функции в точке M1 по направлению вектора M1M2, мы должны вычислить градиент функции в точке M1 и затем применить производную в направлении вектора M1M2.

Дано: M1(2, 1, -1) M2(0, 2, 0)

Функция: f(x, y, z) = x * sqrt(y - yz^2)

Сначала найдем градиент функции f(x, y, z) в общем виде:

∇f(x, y, z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

Вычислим частные производные функции f(x, y, z):

∂f/∂x = sqrt(y - yz^2) ∂f/∂y = x / (2 * sqrt(y - yz^2)) ∂f/∂z = -x * yz / sqrt(y - yz^2)

Теперь подставим значения точки M1(2, 1, -1) в частные производные:

∂f/∂x (в точке M1) = sqrt(1 - (-1)^2) = sqrt(2) ∂f/∂y (в точке M1) = 2 / (2 * sqrt(1 - (-1)^2)) = 1 ∂f/∂z (в точке M1) = -2 * 1 * (-1) / sqrt(1 - (-1)^2) = 2 / sqrt(2)

Таким образом, градиент функции в точке M1 равен:

∇f(2, 1, -1) = (sqrt(2), 1, 2/sqrt(2))

Теперь найдем производную функции в направлении вектора M1M2. Для этого умножим градиент на единичный вектор направления M1M2.

Вектор M1M2 = M2 - M1 = (0, 2, 0) - (2, 1, -1) = (-2, 1, 1)

Найдем единичный вектор направления:

||M1M2|| = sqrt((-2)^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(6)

Единичный вектор направления M1M2 = M1M2 / ||M1M2|| = (-2/sqrt(6), 1/sqrt(6), 1/sqrt(6))

Теперь вычислим производную функции в направлении вектора M1M2:

Производная функции в направлении M1M2 = ∇f(2, 1, -1) · M1M2 / ||M1M2||

= (sqrt(2), 1, 2/sqrt(2)) · (-2/sqrt(6), 1/sqrt(6), 1/sqrt(6)) / sqrt(6)

= (-2sqrt(2)/sqrt(6) + 1/sqrt(6) + 2/sqrt(2))/sqrt(6)

= (-2sqrt(2) + 1 + 2sqrt(2))/6sqrt(6)

= (sqrt(2) + 1)/3sqrt(6)

Таким образом, производная функции в точке M1 по направлению вектора M1M2 равна (sqrt(2) + 1)/3sqrt(6).