Question

В равносторонний треугольник случайным образом «бросили» точку. Найдите вероятность того, что она не попадет во внутреннюю область окружности, вписанной в данный треугольник.

Answer 1

а- сторона треугольника, радиус вписанной окружности равен а√3/6, площадь круга πа²/12, площадь равностороннего треугольника а²√3/4; площадь вне круга  внутри равностороннего треугольника равна

а²√3/4 - πа²/12=(3а²√3-πа²)/12, искомая вероятность

((3а²√3-πа²)/12)/ (а²√3/4)=((3√3-π))/ (3√3)

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в равностороннем треугольнике не попадет во внутреннюю область окружности, вписанной в данный треугольник, мы можем рассмотреть отношение площадей.

Давайте обозначим равносторонний треугольник как ABC, где A, B и C - вершины треугольника, а O - центр вписанной окружности. Пусть P будет случайно выбранной точкой внутри треугольника ABC.

Так как треугольник равносторонний, все его углы равны 60 градусам. Диагонали вписанной окружности пересекаются в центре окружности, образуя точку O.

Таким образом, радиус окружности и радиусы всех вписанных окружностей одинаковы. Давайте обозначим этот радиус как r.

Площадь треугольника ABC можно выразить через длину его сторон a:

Площадь треугольника ABC = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

Площадь вписанной окружности можно выразить через радиус r:

Площадь окружности = π * r^2.

Теперь мы можем выразить вероятность того, что случайно выбранная точка P не попадет во внутреннюю область окружности, как отношение площадей:

Вероятность = (Площадь треугольника ABC - Площадь окружности) / Площадь треугольника ABC Вероятность = ((a^2 * sqrt(3)) / 4 - π * r^2) / ((a^2 * sqrt(3)) / 4).

Теперь, так как треугольник равносторонний, длина его стороны a связана с радиусом r следующим образом:

a = 2 * r * sqrt(3).

Подставляя это значение a в вероятность, получим:

Вероятность = ((4 * r^2 * 3 * sqrt(3)) / 4 - π * r^2) / ((4 * r^2 * 3 * sqrt(3)) / 4) Вероятность = (12 * r^2 * sqrt(3) - π * r^2) / (12 * r^2 * sqrt(3)) Вероятность = (12 - π) / 12.

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в равностороннем треугольнике не попадет во внутреннюю область вписанной окружности, составляет (12 - π) / 12, что приближенно равно 0.2146 или около 21.46%.