Question

Срочно. 35 баллов а) Решите уравнение 5sin^2x-7sinxcosx+2cos^2x=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/6;7π/6]

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

3sin²x+5sinxcosx+2cos²x=0 разделим на sin²x не равное 0

3+5ctgx+2ctg²x=0 

ctgx=y

3+5y+2y²=0 

по теореме Виета корни у=-1,5 и -1, тогда ctgx=-1,5 или ctgx=-1 

х=arcctg(-1,5),           х=arcctg(-1)

x=arcctg(-1,5)+Пік kЄZ,         х=arcctg(-1)=Пі-arcctg1=Пі-Пі/4=3Піt/4 tЄZ

если sin²x=0, то корни х=2Пі n, n - целое

на {-3π;-2π}  -2π, -3π, -9π/4

Answer 2

Давайте решим это уравнение поочередно:

а) Уравнение: $5\sin^2x - 7\sin{x}\cos{x} + 2\cos^2x = 0$

Мы знаем, что $\sin^2x + \cos^2x = 1$, также мы можем использовать тригонометрическое тождество $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$.

Подставим $\sin^2x + \cos^2x = 1$ и $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$ в исходное уравнение:

$5\sin^2x - 7\sin{x}\cos{x} + 2\cos^2x = 5(1 - \cos^2x) - 7\sin{x}\cos{x} + 2\cos^2x = 5 - 5\cos^2x - 7\sin{x}\cos{x} + 2\cos^2x = 5 - 3\cos^2x - 7\sin{x}\cos{x}$

Теперь давайте заменим $\sin{2x}$ в уравнении:

$5 - 3\cos^2x - 7\sin{x}\cos{x} = 5 - 3\cos^2x - \frac{7}{2}\sin{2x}$

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

$10 - 6\cos^2x - 7\sin{2x} = 0$

Мы видим, что это уравнение напоминает квадратное уравнение по $\cos{x}$. Давайте заменим $\sin{2x}$ вторым тригонометрическим тождеством $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$:

$10 - 6\cos^2x - 7(2\sin{x}\cos{x}) = 0$

$10 - 6\cos^2x - 14\sin{x}\cos{x} = 0$

Теперь заменим $\cos{x}$ на $\sqrt{1 - \sin^2x}$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$10 - 6(1 - \sin^2x) - 14\sin{x}\sqrt{1 - \sin^2x} = 0$

Упростим:

$10 - 6 + 6\sin^2x - 14\sin{x}\sqrt{1 - \sin^2x} = 0$

$6\sin^2x - 14\sin{x}\sqrt{1 - \sin^2x} - 4 = 0$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $\sin{x}$. Давайте проведем замену: $u = \sin{x}$:

$6u^2 - 14u\sqrt{1 - u^2} - 4 = 0$

Решение этого уравнения достаточно сложно в аналитической форме. Вы можете использовать численные методы, такие как метод Ньютона, чтобы найти приближенные значения корней. Или, если это задание на программирование, вы можете написать программу для численного решения уравнения.

b) Чтобы найти все корни уравнения на заданном интервале, вам нужно применить численные методы, так как в данном случае нет явных аналитических решений. Один из таких методов - метод половинного деления (или бисекции). Этот метод заключается в том, чтобы разделить интервал пополам и проверить, на какой половине интервала функция меняет знак. После этого интервал смены знака можно снова разделить пополам, и так продолжать до тех пор, пока не будет достигнута достаточная точность.

Если вы хотите, чтобы я продемонстрировал пример численного метода для поиска корней на заданном интервале, дайте мне знать.