Question

(x+4)(1-x)/x-6⩾0 решите пожалуйста неравенство

Answer 1

$\frac{(x+4)(1-x)}{x-6}\geq 0\\\\(x+4)(x-1)(x-6)\leq0,x\neq 6$

-------[- 4]++++++[1]------(6)++++++

//////////               //////////

Ответ : x ∈ (- ∞ ; - 4] ∪ [1 ; 6)

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы должны проанализировать знак выражения $(x+4)(1-x)$ и знак знаменателя $x-6$ на разных интервалах числовой прямой и определить, когда произведение двух выражений $(x+4)(1-x)$ и знаменателя $x-6$ будет неотрицательным ($\geq 0$).

1. Начнем с определения значений $x$, при которых одно из выражений равно нулю: $(x+4)=0$ или $(1-x)=0$.

   Решение первого уравнения: $(x+4)=0 \Rightarrow x=-4$.

   Решение второго уравнения: $(1-x)=0 \Rightarrow x=1$.

   Значит, у нас есть две критические точки: $x=-4$ и $x=1$.

2. Разобьем числовую прямую на три интервала, используя найденные критические точки:

   • $(-\infty, -4)$
   • $(-4, 1)$
   • $(1, +\infty)$

3. Проверим знак выражения $(x+4)(1-x)$ и $x-6$ в каждом интервале:

   Для интервала $(-\infty, -4)$:

   • Выбираем $x = -5$, подставляем в выражения: $(x+4)(1-x) = (-5+4)(1-(-5)) = (-1)(6) = -6$ $x - 6 = -5 - 6 = -11$
   • Получаем $(-6)(-11) < 0$, следовательно, $(x+4)(1-x) \cdot (x-6) < 0$ в интервале $(-\infty, -4)$.

   Для интервала $(-4, 1)$:

   • Выбираем $x = 0$, подставляем в выражения: $(x+4)(1-x) = (0+4)(1-0) = (4)(1) = 4$ $x - 6 = 0 - 6 = -6$
   • Получаем $(4)(-6) < 0$, следовательно, $(x+4)(1-x) \cdot (x-6) > 0$ в интервале $(-4, 1)$.

   Для интервала $(1, +\infty)$:

   • Выбираем $x = 2$, подставляем в выражения: $(x+4)(1-x) = (2+4)(1-2) = (6)(-1) = -6$ $x - 6 = 2 - 6 = -4$
   • Получаем $(-6)(-4) > 0$, следовательно, $(x+4)(1-x) \cdot (x-6) > 0$ в интервале $(1, +\infty)$.

4. Составим таблицу знаков для каждого интервала:

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (x+4)(1-x) & x-6 & (x+4)(1-x) \cdot (x-6) \\ \hline (-\infty, -4) & - & - & + \\ \hline (-4, 1) & + & - & - \\ \hline (1, +\infty) & - & + & - \\ \hline \end{array}$$

5. Итак, решением неравенства $(x+4)(1-x)/(x-6) \geq 0$ являются интервалы, где произведение $(x+4)(1-x)$