Question

Найдите интервалы возрастания и убывания функции f(x)= x^3-6x^2+9x-4. Желательно напишите на листе бумаги, все подробно и если нужно то и саму функцию

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Функция возрастает (убывает), когда ее производная положительна (отрицательна). Найдем f'(x):

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9.

Найдем, в каких точках график производной пересекает ось абсцисс.

3x^2 - 12x + 9 = 0

x^2 - 4x + 3 = 0

(x-3)(x-1) = 0

x = 3 или x = 1.

Получается, график производной - парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках 1 и 3.

Поэтому f(x) возрастает на x∈(-∞;1], затем убывает на x∈[1;3], и снова возрастает на x∈[3;+∞)

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам анализировать функцию и находить интервалы возрастания и убывания. Однако, так как я текстовая модель, я не могу физически создать реальный лист бумаги, но я могу показать вам, как это можно сделать в текстовой форме.

Функция: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$

Давайте начнем с анализа производной функции. Производная позволяет нам определить, как меняется функция в разных точках.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 6x^2 + 9x - 4)$ $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, так как это могут быть точки пересечения графика функции с осью $x$ или точки экстремума (максимум или минимум).

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем поделить все на 3:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Факторизуем:

$(x - 3)(x - 1) = 0$

Отсюда получаем две точки: $x = 3$ и $x = 1$.

3. Теперь мы знаем, что производная равна нулю в точках $x = 3$ и $x = 1$. Давайте посмотрим, как меняется знак производной между этими точками.

   • Подставим $x = 0$ в $f'(x)$: $f'(0) = 9$, что положительно.
   • Подставим $x = 2$ в $f'(x)$: $f'(2) = -3$, что отрицательно.

Итак, между точками $x = 1$ и $x = 3$, производная $f'(x)$ отрицательна, что означает, что функция $f(x)$ убывает в этом интервале.

За пределами этих точек:

• Если $x < 1$, то $f'(x) > 0$, что означает, что функция $f(x)$ возрастает.
• Если $x > 3$, то $f'(x) > 0$, что также означает, что функция $f(x)$ возрастает.

Итак, интервалы возрастания: $x < 1$ и $x > 3$, интервал убывания: $1 < x < 3$.

Теперь вы можете взять лист бумаги и нарисовать график функции, обозначив найденные интервалы возрастания и убывания.