Question

Розв'яжіть рівняння (2х-1)^4 - 26(2x - 1)^2 + 25 = 0

Answer 1

Пусть (2х-1)²=у≥0

у²-26у+25=0 По Виету у=1; у=25

1) (2х-1)²=1⇒а) 2х-1=1⇒х=1; б) 2х-1=-1⇒х=0;

2) (2х-1)²=25⇒а) 2х-1=5⇒х=3; 2х-1=-5⇒х=-2;

Answer 2

Давайте позначимо $y = (2x - 1)^2$, тоді наше рівняння матиме вигляд:

$y^2 - 26y + 25 = 0$.

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою факторизації:

$y^2 - 26y + 25 = (y - 1)(y - 25)$.

Тепер підставимо значення $y$ назад:

$(2x - 1)^2 - 1 = 0$ або $(2x - 1)^2 - 25 = 0$.

1. Розв'яжемо перше рівняння: $(2x - 1)^2 - 1 = 0$. Розкривши квадрат, отримаємо: $4x^2 - 4x + 1 - 1 = 0$, $4x^2 - 4x = 0$, $4x(x - 1) = 0$.

   З цього випливають два можливі значення x: $x = 0$ або $x = 1$.

2. Розв'яжемо друге рівняння: $(2x - 1)^2 - 25 = 0$. Розкривши квадрат, отримаємо: $4x^2 - 4x + 1 - 25 = 0$, $4x^2 - 4x - 24 = 0$, $4(x^2 - x - 6) = 0$.

   Знайдемо корені квадратного рівняння $x^2 - x - 6 = 0$ за допомогою квадратного рівняння: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0$.

   Отже, з цього випливають два можливі значення x: $x = 3$ або $x = -2$.

Отже, загалом, рівняння $(2x-1)^4 - 26(2x - 1)^2 + 25 = 0$ має чотири різних корені: $x = 0, x = 1, x = 3, x = -2$.