Question

Для функции  f(х) =  х3 –  6х2  + 9хнайдите:                                                                                                   а) промежутки монотонности функции;                           б) точки экстремума функции;                   в) точку перегиба функции. Помогите плиз ​

Answer 1

Ответ:

....................... ........... ....

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пункт вашего вопроса по очереди.

а) Промежутки монотонности функции: Для определения промежутков монотонности функции, нам нужно выяснить, где её производная положительна и отрицательна.

Первоначальная функция: f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

Производная функции: f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Давайте найдем корни производной, чтобы определить интервалы, на которых она положительна и отрицательна:

3x^2 - 12x + 9 = 0 x^2 - 4x + 3 = 0 (x - 3)(x - 1) = 0

Корни: x = 1 и x = 3.

Теперь посмотрим на интервалы между корнями:

1. Если x < 1, то производная положительна.
2. Если 1 < x < 3, то производная отрицательна.
3. Если x > 3, то производная снова положительна.

Итак, промежутки монотонности функции:

1. (минус бесконечность, 1)
2. (1, 3)
3. (3, плюс бесконечность)

б) Точки экстремума функции: Точки экстремума соответствуют значениям x, где производная меняет знак.

Мы уже определили, что у нас есть корни производной: x = 1 и x = 3. Между ними производная меняет знак, поэтому на интервале (1, 3) будет точка минимума, а перед и после этого интервала - точки максимума.

в) Точка перегиба функции: Точка перегиба соответствует месту, где меняется выпуклость или вогнутость функции. Для этого мы будем анализировать вторую производную.

Вторая производная функции: f''(x) = 6x - 12

Чтобы найти точку перегиба, мы должны решить уравнение f''(x) = 0:

6x - 12 = 0 x = 2

Таким образом, точка перегиба функции находится при x = 2.

Итак, чтобы подытожить: а) Промежутки монотонности: (минус бесконечность, 1), (1, 3), (3, плюс бесконечность). б) Точки экстремума: минимум при x = 2, максимумы при x = 1 и x = 3. в) Точка перегиба: x = 2.