Question

Доказать тождество: cos(4α) + 1 = 1/2sin(4α) * (ctg(α) - tg(α))

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\cos(4 \alpha ) + 1 = \frac{1}{2} \sin(4 \alpha ) \times ( \cot( \alpha ) - \tan( \alpha ) ) \\ \\ \frac{1}{2} \sin(4 \alpha ) \times ( \cot( \alpha ) - \tan( \alpha ) ) = \sin(4 \alpha ) \times ( \frac{ { \cos(a) }^{2} - { \sin( \alpha ) }^{2} }{ \sin(2 \alpha ) } ) = \\ = 2 \cos(2 \alpha ) \times \cos(2 \alpha ) = 2 { \cos(2 \alpha ) }^{2} = 2 \times \frac{1 + \cos(4 \alpha ) }{2} = \cos(4 \alpha ) + 1$

Поскольку левая часть равна правой, тождество доказано.

Answer 2

Давайте докажем данное тождество, используя определения тригонометрических функций и базовые тригонометрические тождества:

Начнем с левой стороны: cos(4α) + 1

Мы знаем, что: cos(2α) = 2cos^2(α) - 1

Тогда можно заметить, что: cos(4α) = 2cos^2(2α) - 1 = 2(2cos^2(α) - 1)^2 - 1 = 8cos^4(α) - 8cos^2(α) + 1

Теперь давайте перейдем к правой стороне: 1/2sin(4α) * (ctg(α) - tg(α))

Мы знаем, что: sin(2α) = 2sin(α)cos(α) tg(α) = sin(α)/cos(α) ctg(α) = cos(α)/sin(α)

Тогда: sin(4α) = 2sin(2α)cos(2α) = 2(2sin(α)cos(α))(2cos^2(α) - 1) = 8sin(α)cos^3(α) - 4sin(α)cos(α)

ctg(α) - tg(α) = (cos(α)/sin(α)) - (sin(α)/cos(α)) = (cos^2(α) - sin^2(α))/(sin(α)cos(α)) = cos(2α)/(sin(2α)) = 2cos^2(α)/(2sin(α)cos(α)) = 2cos(α)/sin(α)

Таким образом, правая сторона выражения будет: 1/2sin(4α) * (ctg(α) - tg(α)) = 1/2(8sin(α)cos^3(α) - 4sin(α)cos(α)) * (2cos(α)/sin(α)) = 4cos^3(α) - 2cos^2(α) = 2cos^2(α)(2cos(α) - 1)

Как мы видим, правая сторона также имеет вид 2cos^2(α)(2cos(α) - 1).

Таким образом, мы доказали, что левая сторона (cos(4α) + 1) равна правой стороне (1/2sin(4α) * (ctg(α) - tg(α))), и тождество верно.