Question

Найдите наибольшее значение функции y=7tgx-7x+15 на отрезке [(-пи/4);0]

Answer 1

Ответ: 15

Объяснение:

y=7tgx-7x+15

y'=7·(tgx)'-7·x'+15'

y'=7·1/cos²x -7

y'=7·(1/cos²x -1)=7·(1-cos²x)/cos²x=7·sin²x/cos²x=7·tg²x

y'=7·tg²x

7·tg²x=0

tg²x=0

tgx=0

x=π·n, n∈z

Только при n=0, x=0∈[-пи/4);0]

y(-π/4)=7·tg(-π/4)-7·(-π/4)+15=-7+7π/4+15=8+7·π/4

y(0)=7·tg0-7·0+15=-0-0+15=15

Сравним  8+7·π/4

3<π<3,2⇒ 3/4<π/4<3,2/4⇒ 7·3/4<7·π/4<7·3,2/4⇒5,25<7·π/4<5,6⇒

8+5,25<8+7·π/4<8+5,6⇒13,25<8+7·π/4<13,6⇒8+7·π/4<15⇒15- наибольшее значение функции y=7·tgx-7·x+15 на отрезке [-пи/4;0]

Ответ:15

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции на заданном отрезке, сначала необходимо найти критические точки, то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, а затем проверить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

Для данной функции y = 7tg(x) - 7x + 15 на отрезке $[- \frac{\pi}{4}, 0]$, найдем критические точки, приравняв производную функции к нулю и решив полученное уравнение:

$y' = \frac{7}{\cos^2(x)} - 7$

Найдем значения x, для которых производная равна нулю:

$\frac{7}{\cos^2(x)} - 7 = 0$

$\frac{7 - 7\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$

7 - 7cos^2(x) = 0

7cos^2(x) = 7

cos^2(x) = 1

cos(x) = ±1

На отрезке $[- \frac{\pi}{4}, 0]$ функция tg(x) не определена для cos(x) = 0. Поэтому нас интересует только решение cos(x) = 1.

cos(x) = 1 имеет решение на отрезке $[- \frac{\pi}{4}, 0]$ при $x = 0$.

Теперь проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

y(-\frac{\pi}{4}) = 7tg(-\frac{\pi}{4}) - 7(-\frac{\pi}{4}) + 15 = 7(-1) + \frac{7\pi}{4} + 15

y(0) = 7tg(0) - 7(0) + 15 = 7(0) + 0 + 15

Мы получили две точки: (-\frac{\pi}{4}, y(-\frac{\pi}{4})) и (0, y(0)), и необходимо определить, в какой из них значение функции максимально.

Теперь можно вычислить значения функции в этих точках:

y(-\frac{\pi}{4}) = -7 + \frac{7\pi}{4} + 15

y(0) = 15

Подставив значения, получим:

y(-\frac{\pi}{4}) ≈ 1.07 + 5.50 + 15 ≈ 21.57

y(0) = 15

Итак, на отрезке $[- \frac{\pi}{4}, 0]$ максимальное значение функции равно приблизительно 21.57 и достигается при $x ≈ -\frac{\pi}{4}$.