Question

Докажите, что при любом натуральном n число 3 в степени n + 2(n+ 1) + 5 в степени n делится на 4

Answer 1

Для доказательство просто рассмотрим два случая: когда $n$ - нечетное и когда $n$ - четное.

1). $n$ - нечетное, то есть $n=2k+1$.

При всех нечетных натуральных $n$ число $3^n$ имеет остаток $3$ при делении на $4$.

• Доказать это можно таким образом: при $n=1$ число $3^1=3\; (mod \; 4)$. При $n=2$ получаем $3^2=3 \cdot 3 \; (mod\; 4) = 9 \; (mod \; 4) = 1 \; (mod \; 4)$. Дальше, при $n=3$: $3^3 = 1 \cdot 3 \; (mod \; 4) = 3 \; (mod \; 4)$. Как видим, круг замкнулся и на нечетных $n$ будет выскакивать остаток $3$ при делении $4$, а при четных - $1$.

Также, при любом натуральном значении $n$ число $5^n$ имеет остаток $1$ при делении на $4$.

• Так происходит, потому что само число $5$, возводимое в степень, равняется $1$ по модулю $4$.

Третье слагаемое: $2 \cdot (n+1)$ будет нацело делиться на $4$:

$2 \cdot ((2k+1)+1) = 4 \cdot (k+1)$

Значит, если $n$ - нечетное, то:

$3^n+2 \cdot (n+1) + 5^n = 3 + 0 + 1 \; (mod \; 4) = 0 \; (mod \; 4)$

При нечетных $n$ все, как видите, сходится.

2). $n$ - четное, или же $n=2k$.

Как мы определили ранее, в этом случае $3^n = 1 \; (mod \; 4)$ и $5^n = 1 \; (mod \; 4)$.

При этом второе слагаемое:

$2 \cdot (n+1) = 2 \cdot (2k+1) = 4k+2 \; (mod \; 4)$

Найдем всю сумму:

$3^n+n \cdot (2n+1)+5^n = 1 + 2 + 1 \; (mod \; 4) = 0 \; (mod \; 4)$

И при четных $n$ утверждение работает.

Как известно, каждое натуральное число либо четное, либо нечетное (третьего не дано) и никаких других натуральных чисел, которые не являются четными и не являются нечетными одновременно, науке неизвестно.

Так что мы рассмотрели все случаи, и в каждом из них результат был равен $0 \; (mod \; 4)$, то есть делился на $4$.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение $3^{n + 2(n+ 1)} + 5^n$ делится на 4 для любого натурального $n$, давайте воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая.

При $n = 1$, у нас есть: $3^{n + 2(n+ 1)} + 5^n = 3^{1 + 2(1+ 1)} + 5^1 = 3^5 + 5 = 243 + 5 = 248$.

Число 248 делится на 4 ($248 = 4 \times 62$), поэтому базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $k$, то есть $3^{k + 2(k+ 1)} + 5^k$ делится на 4.

Шаг 3: Индукционный переход.

Теперь докажем, что утверждение верно и для $k+1$:

$$\begin{align*} 3^{(k+1) + 2((k+1)+ 1)} + 5^{k+1} &= 3^{k+3} + 5^{k+1} \\ &= 3^3 \cdot 3^k + 5 \cdot 5^k \\ &= 27 \cdot 3^k + 5 \cdot 5^k. \end{align*}$$

Теперь давайте разберемся с выражением $27 \cdot 3^k + 5 \cdot 5^k$.

Заметим, что $27 \cdot 3^k$ делится на 4, так как $27 = 4 \cdot 6 + 3$, и последняя цифра в числе $3^k$ всегда 3 (если $k > 0$).

Также, $5 \cdot 5^k = 5^{k+1}$, что также делится на 4 (поскольку 5 делится на 4).

Итак, сумма $27 \cdot 3^k + 5 \cdot 5^k$ делится на 4.

Таким образом, по принципу математической индукции, мы показали, что $3^{n + 2(n+ 1)} + 5^n$ делится на 4 для любого натурального $n$.