Question

Доведіть що при будь якому значенні а виконується рівність 1*2+2*5+3*8+n*(3n-1) =n^2(n+1)

Answer 1

Ответ:

36+3n^2-n

Объяснение:

2+10+24+3n^2-n

Answer 2

Для доведення цієї рівності треба використати математичну індукцію за n, де n - додатнє ціле число.

Крок бази: Перевіримо, чи виконується рівність для n = 1:

Ліва сторона: 1 * 2 = 2 Права сторона: 1^2 * (1 + 1) = 2

Обидві сторони рівності дорівнюють 2, тому базовий крок виконується.

Крок припущення: Припустимо, що рівність виконується для деякого n = k, тобто:

1 * 2 + 2 * 5 + 3 * 8 + k * (3k - 1) = k^2 * (k + 1)

Крок індукції: Доведемо, що рівність виконується для n = k + 1, використовуючи припущення для n = k:

Ліва сторона рівності для n = k + 1:

1 * 2 + 2 * 5 + 3 * 8 + (k + 1) * (3 * (k + 1) - 1)

Розкриємо дужки:

1 * 2 + 2 * 5 + 3 * 8 + (3k^2 + 3k + k + 2)

Об'єднаємо подібні доданки:

1 * 2 + 2 * 5 + 3 * 8 + 3k^2 + 4k + 2

Тепер додамо до цього виразу рівність для n = k, враховуючи припущення:

k^2 * (k + 1)

За припущенням:

1 * 2 + 2 * 5 + 3 * 8 + k * (3k - 1) = k^2 * (k + 1)

Підставимо це значення:

1 * 2 + 2 * 5 + 3 * 8 + 3k^2 + 4k + 2 + k^2 * (k + 1)

Об'єднаємо подібні доданки:

k^2 * (k + 1) + 3k^2 + 4k + 2 + 2 + 5 + 8

(k^3 + k^2) + 3k^2 + 4k + 15

k^3 + 4k^2 + 4k + 15

Тепер розглянемо праву сторону рівності для n = k + 1:

(k + 1)^2 * ((k + 1) + 1)

(k^2 + 2k + 1) * (k + 2)

k^3 + 2k^2 + k^2 + 4k + 2k + 2

k^3 + 3k^2 + 6k + 2

Як ми бачимо, отримані вирази на лівій та правій сторонах рівності для n = k + 1 не збігаються, тому наша гіпотеза неправильна, а отже, рівність не виконується для всіх значень n.

Таким чином, ми не можемо довести дану рівність для будь-якого значення n.