Question

Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=x^3+3x^2-9x-2 на отрезке (-8;8)​

Answer 1

Ответ:

y=x³+3x²-9x-2

y'=3x²+6x-9

y'=0

3x²+6x-9=3(x²+2x-3)=0

D=4+12=16

x=-3

x=1

y(-3)=(-3)³+3(-3)²-9*(-3)-2=-27+27+27-2=25

y(1)=-7

y(-8)=-250    наименьшее

y(8)=8³+3*8²-9*8-2=512+192-72-2=630       наибольшее

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 2$ на интервале $(-8, 8)$, мы сначала найдем критические точки, то есть точки, где производная функции равна нулю, и крайние точки интервала. Затем подставим найденные точки в функцию и выберем наименьшее и наибольшее значения.

1. Найдем производную функции: $y' = 3x^2 + 6x - 9.$

2. Решим уравнение $y' = 0$ для поиска критических точек: $3x^2 + 6x - 9 = 0.$ $x^2 + 2x - 3 = 0.$ $(x + 3)(x - 1) = 0.$

Отсюда получаем две критические точки: $x = -3$ и $x = 1$.

3. Оценим функцию в крайних точках интервала $(-8, 8)$ и критических точках:
   • При $x = -8$, $y = (-8)^3 + 3(-8)^2 - 9(-8) - 2 = -378$.
   • При $x = 8$, $y = 8^3 + 3(8)^2 - 9(8) - 2 = 478$.
   • При $x = -3$, $y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 2 = 10$.
   • При $x = 1$, $y = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 2 = -7$.

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $(-8, 8)$ равно -378, и оно достигается при $x = -8$, а наибольшее значение равно 478 и достигается при $x = 8$.