Question

Точки A, B и C делят окружность на три части так, что градусные меры дуг AB, BC, CA относятся как 6 : 5 : 4. Найдите величину дуги BC. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Пусть $x$ — величина дуги $AB$, $y$ — величина дуги $BC$, $z$ — величина дуги $CA$. Тогда у нас есть следующие соотношения:

$\frac{x}{y} = \frac{6}{5}, \quad \frac{y}{z} = \frac{5}{4}.$

Мы можем найти соотношение между $x$, $y$ и $z$ следующим образом:

$\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{4},$ $x = \frac{30}{20}z,$ $x = \frac{3}{2}z.$

Также известно, что сумма градусных мер дуг на окружности составляет $360^\circ$, поэтому:

$x + y + z = 360^\circ.$

Подставляя значение $x$ из первого уравнения, получаем:

$\frac{3}{2}z + y + z = 360^\circ,$ $\frac{5}{2}z + y = 360^\circ.$

Теперь мы можем выразить $z$ через $y$ из этого уравнения:

$z = \frac{360^\circ - y}{\frac{5}{2}}.$

Подставляем это значение $z$ во второе уравнение:

$\frac{y}{\frac{360^\circ - y}{\frac{5}{2}}} = \frac{5}{4},$ $\frac{2y}{360^\circ - y} = \frac{5}{4},$ $\frac{8y}{360^\circ - y} = 5.$

Теперь решим уравнение относительно $y$:

$8y = 5(360^\circ - y),$ $8y = 1800^\circ - 5y,$ $13y = 1800^\circ,$ $y = \frac{1800^\circ}{13}.$

Таким образом, величина дуги $BC$ равна:

$y = \frac{1800^\circ}{13} \approx 138.46^\circ.$

Ответ: Величина дуги $BC$ составляет около $138.46^\circ$.