Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: f(x) = 2+x-x^2, ось OX

Answer 1

$\displaystyle\\S=\int\limits^2_{-1} {2+x-x^2} \, dx=\bigg(2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\bigg)\mid^2_{-1}=2*2+\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{3}-\bigg(2*(-1)+\\\\\\ +\frac{(-1)^2}{2}-\frac{(-1)^3}{3}\bigg)=4+2-\frac{8}{3}-\bigg(-2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \bigg)=6-\frac{8}{3}-\bigg(-\frac{7}{6} \bigg)=\\\\\\ =\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = 2 + x - x^2 и осью OX, нужно вычислить определенный интеграл этой функции на соответствующем интервале.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с осью OX, то есть места, где f(x) = 0:

2 + x - x^2 = 0

Решим это квадратное уравнение:

x^2 - x - 2 = 0

Факторизуем:

(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 2 и x = -1.

Интервал, на котором будем вычислять интеграл, ограничен корнями уравнения, то есть от -1 до 2.

Теперь вычислим интеграл функции f(x) на этом интервале:

∫[a, b] f(x) dx = ∫[-1, 2] (2 + x - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

∫(2 + x - x^2) dx = [2x + (x^2)/2 - (x^3)/3] | от -1 до 2

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

(22 + (2^2)/2 - (2^3)/3) - (2(-1) + ((-1)^2)/2 - ((-1)^3)/3)

Упрощаем:

(4 + 2 - 8/3) - (-2 + 1/2 + 1/3)

(6 - 8/3) - (-2 + 5/6)

(18/6 - 8/3) - (-12/6 + 5/6)

(18 - 16)/6 + 7/6

2/6 + 7/6 = 9/6 = 3/2

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = 2 + x - x^2 и осью OX, равна 3/2 или 1.5 квадратных единицы.