Question

Для функции f(x) =3x²-7 найти первообразную, график которой проходит через точку А(2:1)​

Answer 1

$\displaystyle f(x)=3x^2-7\\\\F(x)=3*\frac{x^3}{3}-7x+C=x^3-7x+C\\\\ A(2;1)\Rightarrow 1=2^3-7*2+C\\\\1=8-14+C\\\\C=7\\\\F(x)=x^3-7x+7$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 3x^2 - 7$, которая проходит через точку $A(2, 1)$, нужно найти антипроизводную (интеграл) функции $f(x)$ и затем использовать условие, что график этой антипроизводной проходит через данную точку.

Сначала найдем антипроизводную $F(x)$ для функции $f(x)$: $F(x) = \int f(x) \, dx = \int (3x^2 - 7) \, dx$

Вычислим интеграл по частям: $F(x) = \int 3x^2 \, dx - \int 7 \, dx = x^3 - 7x + C$

Где $C$ - произвольная константа интегрирования.

Теперь, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график антипроизводной проходит через точку $A(2, 1)$: $F(2) = 2^3 - 7 \cdot 2 + C = 1$ $8 - 14 + C = 1$ $C = 7$

Итак, первообразная функции $f(x) = 3x^2 - 7$, проходящая через точку $A(2, 1)$, имеет вид: $F(x) = x^3 - 7x + 7$

Проверим, что график функции $F(x)$ действительно проходит через точку $A(2, 1)$: $F(2) = 2^3 - 7 \cdot 2 + 7 = 1$ Таким образом, условие выполнено.