Question

Провести полное исследование функции y = f(x) и построить ее график. y = x 4 – 8x 2 + 7

Answer 1

Полное исследование на фото:

Answer 2

Конечно, давайте проведем полное исследование функции y = x^4 - 8x^2 + 7.

1. Нахождение корней функции:

Для нахождения корней функции решим уравнение f(x) = 0:

x^4 - 8x^2 + 7 = 0

Для решения этого уравнения мы можем ввести замену, например, x^2 = u. Тогда уравнение примет вид:

u^2 - 8u + 7 = 0

Решим квадратное уравнение для u:

(u - 7)(u - 1) = 0

Из этого получаем два значения u: u = 7 и u = 1.

Теперь найдем значения x, используя замену x^2 = u:

1. u = 7: x^2 = 7 => x = ±√7
2. u = 1: x^2 = 1 => x = ±1

Таким образом, корни функции: x = -√7, x = √7, x = -1, x = 1.

2. Определение области значений:

Поскольку функция является полиномом четвертой степени, она может принимать любые значения в диапазоне от минус бесконечности до плюс бесконечности. Таким образом, область значений функции - это все действительные числа.

3. Нахождение интервалов монотонности:

Для нахождения интервалов монотонности производная функции должна быть положительной или отрицательной на соответствующем интервале.

Производная функции: f'(x) = 4x^3 - 16x

Точки, где производная равна нулю: 4x^3 - 16x = 0 4x(x^2 - 4) = 0 x(x - 2)(x + 2) = 0

Точки: x = 0, x = 2, x = -2.

Составим таблицу знаков производной:

markdownCopy code
      -∞    -2    0    2    +∞
f'(x)  +     -     0    +    +

Следовательно, функция убывает на интервале (-∞, -2) и возрастает на интервалах (-2, 0) и (2, +∞).

4. Нахождение экстремумов:

Точки экстремума соответствуют точкам, где производная меняет знак с плюса на минус или наоборот.

Минимум: x = -2 (локальный минимум, так как f'(x) меняет знак с минуса на плюс).

Максимум: x = 0 (локальный максимум, так как f'(x) меняет знак с плюса на минус).

5. Построение графика функции:

Давайте построим график функции y = x^4 - 8x^2 + 7:

На графике видно, что функция имеет минимум в точке (-2, 11) и максимум в точке (0, 7), а также пересекает ось x в точках (-√7, 0), (√7, 0), (-1, 0) и (1, 0). Функция также продолжает возрастать и убывать за пределами показанной области.