Question

Арифметическая прогрессия. Тридцатый член арифметической прогрессий равен 5. Найдите сумму первых 25 ее членов.

Answer 1

Ответ:

125-425d

Объяснение:

$a_{n} =a_{1} +(n-1)d\\5 =a_{1} +(30-1)d\\a_{1}=5-29d\\\\S_{n} =\frac{2a_{1} +(n-1)d}{2}n\\\\ S_{25} =\frac{2*(5-29d) +(25-1)d}{2}*25=\frac{10-58d+24d}{2}*25=\frac{10-34d}{2}*25= \\\\=125-425d$

Answer 2

Для арифметической прогрессии у нас есть формула для нахождения n-го члена:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d,$

где $a_n$ - n-й член прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $n$ - номер члена, $d$ - разность между соседними членами прогрессии.

Известно, что $a_{30} = 5$, следовательно:

$5 = a_1 + (30 - 1) \cdot d.$

Или

$5 = a_1 + 29d. \quad (1)$

Также у нас есть формула для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n).$

В нашем случае, $n = 25$, $a_n = 5$, и мы хотим найти сумму первых 25 членов. Подставляя это в формулу:

$S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (a_1 + 5).$

Мы также знаем из уравнения $(1)$, что $a_1 + 29d = 5$, поэтому:

$a_1 = 5 - 29d. \quad (2)$

Подставляя $a_1$ из уравнения $(2)$ в формулу для $S_{25}$:

$S_{25} = \frac{25}{2} \cdot ((5 - 29d) + 5).$

$S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (10 - 29d).$

Теперь нам нужно найти значение $d$, для этого мы можем воспользоваться уравнением $(1)$:

$5 = a_1 + 29d.$

Подставим $a_1$ из уравнения $(2)$:

$5 = (5 - 29d) + 29d.$

$5 = 5.$

Уравнение верно для любого значения $d$, так как $d$ сократилось. Это означает, что прогрессия является постоянной (разность между членами равна 0).

Таким образом, у нас есть арифметическая прогрессия, в которой все члены равны 5. Сумма первых 25 членов такой прогрессии:

$S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (10 - 29 \cdot 0) = \frac{25}{2} \cdot 10 = 125.$

Итак, сумма первых 25 членов данной арифметической прогрессии равна 125.