Question

Logx^2(3-2x)>1 решите логарифмическое неравенство

Answer 1

Введем ограничения:

$\displaystyle \left \{ {{3-2x>0} \atop {x^2>0; x^2\neq 1}} \right.\\\\\left \{ {{x$

Решение:

1 случай $\displaystyle x^2>1; x \in (-00;-1) (1;+00)$

тогда логарифм - возрастающая функция

$\displaystyle 3-2x>x^2\\\\x^2+2x-3$

с учетом условия $\displaystyle x \in (-3;-1)$

2 случай $\displaystyle x^2$

логарифм убывающая функция

$\displaystyle 3-2x0\\\\ x \in (-oo;-3) (1; +oo)$

с учетом условия : решений нет

Окончательный ответ  (с учетом ограничений) (-3;-1)

Answer 2

Для решения логарифмического неравенства сначала нужно переписать его так, чтобы избавиться от логарифмов. Исходное неравенство:

$\log_{x^2} (3 - 2x) > 1$

Давайте начнем с того, что выразим логарифмическую функцию в экспоненциальной форме:

$x^{\log_{x^2} (3 - 2x)} > x^1$

Теперь мы можем избавиться от логарифма, возводя обе стороны неравенства в степень $x^2$:

$(3 - 2x)^2 > x^2$

Раскроем квадрат слева:

$9 - 12x + 4x^2 > x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 + 12x - 9 > 0$

Теперь мы получили квадратное неравенство. Чтобы решить его, выясним, когда выражение будет положительным.

1. Найдем корни уравнения $3x^2 + 12x - 9 = 0$:

   Применим квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ к нашему случаю $3x^2 + 12x - 9 = 0$:

   $a = 3, \quad b = 12, \quad c = -9$

   Используем формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

   $D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 144 + 108 = 252$

   Корни уравнения:

   $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{252}}{6} = -2 \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

2. Найдем интервалы, в которых выражение $3x^2 + 12x - 9$ положительно:

   Выразим корни в виде десятичных дробей:

   $x_1 \approx -2.897, \quad x_2 \approx 0.230$

   Теперь проверим знак выражения в интервалах:

   • Для $x < -2.897$: В этом интервале оба слагаемых $3x^2$ и $12x$ отрицательны, поэтому выражение положительно.

   • Для $-2.897 < x < 0.230$: В этом интервале первое слагаемое $3x^2$ положительно, а второе слагаемое $12x$ отрицательно, поэтому выражение положительно.

   • Для $x > 0.230$: В этом интервале оба слагаемых $3x^2$ и $12x$ положительны, поэтому выражение положительно.

Таким образом, решением исходного логарифмического неравенства $\log_{x^2} (3 - 2x) > 1$ является интервал:

$x \in (-\infty, -2.897) \cup (-2.897, 0.230) \cup (0.230, +\infty)$