Question

Решить логарифмическое нер-воlogx (x-2) * logx (x+2) меньше или равно 0

Answer 1

решение во вложнии

.................................................

Answer 2

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо использовать свойства логарифмов и анализировать различные случаи.

Дано логарифмическое неравенство:

log(x) * (x - 2) + log(x) * (x + 2) ≤ 0

1. Свойства логарифмов

Для начала, вспомним некоторые свойства логарифмов:

- log(a * b) = log(a) + log(b) (свойство умножения) - log(a / b) = log(a) - log(b) (свойство деления) - log(a^b) = b * log(a) (свойство возведения в степень)

2. Разбор случаев

Объединим два слагаемых в левой части неравенства и рассмотрим несколько возможных случаев:

Случай 1: x > 2 и x > -2

В этом случае, все слагаемые в неравенстве положительны. Мы можем применить свойство умножения логарифмов и переписать неравенство следующим образом:

log(x * (x - 2) * x * (x + 2)) ≤ 0

Упростим выражение:

log(x^2 * (x^2 - 4)) ≤ 0

Заметим, что x^2 > 0 для всех положительных x и (x^2 - 4) > 0 для x > 2 и x > -2. Таким образом, левая часть неравенства будет положительной, что противоречит условию. Поэтому, в этом случае неравенство не имеет решений.

Случай 2: -2 < x < 2

В этом случае, одно слагаемое в неравенстве отрицательно (log(x) < 0), а другое слагаемое положительно (x - 2) > 0 и (x + 2) > 0. Таким образом, неравенство не может быть удовлетворено, и в этом случае неравенство также не имеет решений.

Случай 3: x < -2

В этом случае, оба слагаемых в неравенстве отрицательны (log(x) < 0), а (x - 2) < 0 и (x + 2) < 0. Применяя свойство умножения логарифмов, мы можем переписать неравенство следующим образом:

log(x * (x - 2) * x * (x + 2)) ≤ 0

Упростим выражение:

log(x^2 * (x^2 - 4)) ≤ 0

Заметим, что x^2 > 0 для всех положительных x и (x^2 - 4) > 0 для x < -2. Таким образом, левая часть неравенства будет отрицательной, и неравенство будет удовлетворяться для всех x < -2.

3. Ответ

Таким образом, решение данного логарифмического неравенства можно записать следующим образом:

x < -2

Ответ: x < -2