Question

Исследовать функции и построить графики по плану у = х2 / (х - 2)

Answer 1

Ответ:

============================================

Объяснение:

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию y = x^2 / (x - 2) и построим её график. Для начала давайте выполним анализ функции.

План исследования функции:

1. Определение области определения
2. Анализ поведения функции при x -> ±∞
3. Выявление вертикальных асимптот и исключений
4. Анализ производной и нахождение экстремумов
5. Исследование на монотонность
6. Построение графика

Давайте начнем:

1. Область определения: Функция имеет знаменатель (x - 2), поэтому x не должен равняться 2, иначе функция будет неопределенной. Таким образом, область определения функции: x ∈ (-∞, 2) ∪ (2, +∞).

2. Поведение при x -> ±∞: При x -> ±∞, x^2 будет доминировать в числителе, а x - 2 в знаменателе. Это приведет к тому, что функция будет стремиться к +∞.

3. Вертикальные асимптоты и исключения: Функция будет иметь вертикальную асимптоту при x = 2, так как в этой точке знаменатель обращается в ноль. Однако, так как числитель также обращается в ноль при x = 2, этот случай следует рассмотреть дополнительно.

4. Производная и экстремумы: Давайте найдем производную функции и выявим экстремумы:

y = x^2 / (x - 2)

Прологарифмируем обе стороны:

ln(y) = ln(x^2 / (x - 2))

ln(y) = ln(x^2) - ln(x - 2) ln(y) = 2ln(x) - ln(x - 2)

Теперь продифференцируем по x:

1/y * y' = 2/x - 1/(x - 2)

y' = (2 - x + 2) * y / (x * (x - 2)) y' = (4 - x) * x / (x^2 - 2x)

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

(4 - x) * x = 0 x = 0 или x = 4

Подставив x = 0 и x = 4 в исходную функцию, мы видим, что в обоих случаях y = 0. Таким образом, есть экстремум в точке (0, 0) и (4, 0).

5. Монотонность: Анализируя знак производной в разных интервалах, можно выявить, что функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, 4), затем убывает на интервале (4, 2) и возрастает на интервале (2, +∞).

6. Построение графика: На основе всех этих данных мы можем построить график функции. График будет иметь вертикальную асимптоту при x = 2 и проходить через точки (0, 0) и (4, 0). Он также будет стремиться к +∞ при x -> ±∞.

(В данном текстовом формате я не могу построить график напрямую, но вы можете воспользоваться графическими инструментами, такими как графические калькуляторы или программы для построения графиков, чтобы увидеть визуализацию функции.)