Question

4. Найти первообразную для функции f(x) =4x – 3x^2 + 1, график которой проходит через точку М( 2; 4).

Answer 1

Ответ:

$-x^3 + 2x^2 + x + 2$

Объяснение:

Сначала найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int 4x - 3x^2 + 1 dx = 2x^2 - x^3 + x + C.$

Найдем константу из условия, что график проходит через точку (2, 4):

$F(2) = 4,$

$8 - 8 + 2 + C = 4,$

$C = 2.$

Итого получаем:

$F(x) = -x^3 + 2x^2 + x + 2$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 4x - 3x^2 + 1$ мы будем использовать процесс интегрирования. Первообразная функции $F(x)$ для данной функции $f(x)$ будет иметь следующий вид:

$F(x) = \int f(x) \, dx = \int (4x - 3x^2 + 1) \, dx.$

Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int 4x \, dx = 2x^2 + C_1,$ $\int -3x^2 \, dx = -x^3 + C_2,$ $\int 1 \, dx = x + C_3.$

Где $C_1$, $C_2$ и $C_3$ - это произвольные константы интегрирования. Теперь объединим все полученные слагаемые:

$F(x) = 2x^2 - x^3 + x + C.$

Здесь $C = C_1 + C_2 + C_3$ - это также константа интегрирования. Теперь, учитывая условие, что график функции проходит через точку $M(2, 4)$, мы можем найти значение константы $C$:

$F(2) = 2 \cdot 2^2 - 2^3 + 2 + C = 8 - 8 + 2 + C = 2 + C.$

Так как график проходит через точку $M(2, 4)$, то $F(2)$ также должно равняться 4:

$2 + C = 4.$

Отсюда находим значение константы $C$:

$C = 4 - 2 = 2.$

Таким образом, первообразная функции $f(x)$ с учетом условия прохождения через точку $M(2, 4)$ будет:

$F(x) = 2x^2 - x^3 + x + 2.$