Question

Найти все a, при которых любое значение x, удовлетворяющее неравенству ax²+(1-a²)x-a>0, по модулю не превосходит двух

Answer 1

Ответ: a ∈ [-2; -0.5]

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство более подробно:

ax² + (1 - a²)x - a > 0

Чтобы найти значения a, при которых данное неравенство выполняется для любого значения x, удовлетворяющего этому неравенству, мы можем использовать метод анализа дискриминанта квадратного трехчлена.

Дискриминант D квадратного трехчлена ax² + bx + c равен D = b² - 4ac.

В данном случае b = (1 - a²), a = a и c = -a.

Подставляя значения, получаем:

D = (1 - a²)² - 4a(-a) D = 1 - 2a² + a⁴ + 4a² D = a⁴ + 2a² + 1

Теперь нам нужно найти условия, при которых D неотрицателен (чтобы неравенство имело корни или было равно нулю) и при этом D не превосходит 4 (чтобы корни оставались в пределах -2 и 2, как требуется по условию).

Мы имеем:

0 ≤ D ≤ 4

Подставляем выражение для D:

0 ≤ a⁴ + 2a² + 1 ≤ 4

Вычитаем 1 из всех частей неравенства:

-1 ≤ a⁴ + 2a² ≤ 3

Теперь у нас есть неравенство, которое можно решить. Однако, явное аналитическое решение этого неравенства довольно сложное, и оно включает в себя множество случаев и подслучаев. На практике, решив это неравенство численно или с помощью компьютера, можно получить значения a, которые удовлетворяют заданному условию.