Question

Сколько корней в интервале [-n / 2; n / 2] уравнения cosx = 1/2

Answer 1

$Cosx=\frac{1}{2}\\\\x=\pm arc Cos\frac{1}{2}+2\pi n,n\in Z\\\\x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in Z\\\\1)x=\frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in Z\\\\n=0 \Rightarrow x=\frac{\pi }{3} \\\\2)x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in Z\\\\n=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}$

Ответ : два корня

Answer 2

Уравнение cos(x) = 1/2 имеет два решения в интервале [0, 2π]. Эти решения находятся при значениях x = π/3 и x = 5π/3.

Однако, если мы рассматриваем интервал [-n/2, n/2], то нам нужно учесть, как это влияет на количество решений.

Если n четное, то интервал [-n/2, n/2] будет содержать целое количество периодов функции cos(x) и, следовательно, будет содержать все решения уравнения cos(x) = 1/2. В этом случае, количество корней равно 2.

Если n нечетное, то интервал [-n/2, n/2] будет содержать целое количество периодов функции cos(x), кроме, возможно, некоторой части одного из периодов. В этом случае, количество корней также равно 2.

Таким образом, вне зависимости от того, четное ли n или нет, количество корней уравнения cos(x) = 1/2 на интервале [-n/2, n/2] составляет 2.