Question

Исследуйте функцию на экстремум f(x)=-x^2e^x

Answer 1

Ответ: х1=-2, х2=0.

Объяснение:

Answer 2

Для того чтобы исследовать функцию на экстремум, нужно вычислить её производные и проанализировать точки, где производные равны нулю или не существуют. Затем можно будет использовать вторую производную, чтобы определить характер экстремума в найденных точках.

Дана функция: $f(x) = -x^2 e^x$

1. Вычислим первую производную: $f'(x) = (-2x e^x) + (-x^2 e^x) = -x e^x (2 + x)$

2. Найдем точки, где производная равна нулю: $-x e^x (2 + x) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x = 0$ и $x = -2$.

3. Вычислим вторую производную: $f''(x) = -e^x (2 + x) - x e^x = -e^x (x + 2) - x e^x$

Теперь можем проанализировать точки, где $f'(x) = 0$:

a. Для $x = 0$:

• $f''(0) = -2 \cdot e^0 \cdot (0 + 2) - 0 \cdot e^0 = -4$
• Так как вторая производная отрицательна, это является максимумом.

b. Для $x = -2$:

• $f''(-2) = -e^{-2} \cdot (-2 + 2) - (-2) e^{-2} = 0$
• Вторая производная равна нулю, что не дает информации о характере экстремума.

Таким образом, у функции есть одна точка экстремума:

• Максимум при $x = 0$.

Итак, график функции будет иметь максимум в точке $(0, 0)$, и он будет направлен вниз по обеим сторонам от этой точки.