Question

Решите уравнение а) x^4-9x^2+14=0 б) x^3-5x^2-x+5=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x^4-9x^2+14=0

x⁴-9x²+14=0

x²=t     t≥0

t²-9t+14=0

По теореме Виета :

t₁=7

t₂=2

Обратная замена:

x²=7              x²=2

x=±√7           x=±√2

x^3-5x^2-x+5=0

x³-5x²-x+5=0

x²(x-5)-(x-5)=0

(x²-1)(x-5)=0

x²-1=0   x-5=0

x²=1        x=5

x=±1

x=±1 ; 5

Answer 2

a) Для решения квадратного уравнения $x^4 - 9x^2 + 14 = 0$ можно ввести замену, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x^2$:

Пусть $y = x^2$, тогда уравнение преобразуется следующим образом: $y^2 - 9y + 14 = 0.$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ и применить к нему формулу дискриминанта: $D = b^2 - 4ac.$

В данном случае $a = 1$, $b = -9$, $c = 14$, и $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.

Поскольку $D > 0$, у нас есть два корня: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 5}{2}.$

Таким образом, $y_1 = 7$ и $y_2 = 2$.

Поскольку $y = x^2$, у нас есть два возможных значения $x$: $x_{1,2} = \pm \sqrt{y_{1,2}} = \pm \sqrt{7} \text{ и } \pm \sqrt{2}.$

Итак, решения уравнения $x^4 - 9x^2 + 14 = 0$ это: $x = \pm \sqrt{7} \text{ и } \pm \sqrt{2}.$

b) Для решения уравнения $x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$ можно использовать различные методы, включая графический метод, метод подбора корней или метод численного решения. В данном случае нет прямого аналитического способа найти рациональные корни, поэтому давайте воспользуемся численным методом.

Один из численных методов - это метод Ньютона (или метод касательных), который позволяет находить приближенные значения корней уравнения. Подходящим начальным приближением можно выбрать значения, полученные графически или эмпирически.

Общий вид итерационной формулы метода Ньютона: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},$ где $x_{n+1}$ - новое приближение корня, $x_n$ - текущее приближение, $f(x)$ - функция, $f'(x)$ - её производная.

Для уравнения $x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$, функция $f(x)$ равна $x^3 - 5x^2 - x + 5$, а её производная $f'(x)$ равна $3x^2 - 10x - 1$.

Выберем начальное приближение, например, $x_0 = 2$, и применяем итерационную формулу:

$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{2^3 - 5 \cdot 2^2 - 2 + 5}{3 \cdot 2^2 - 10 \cdot 2 - 1}$