Question

Решить методом интервалов пожалуйста (x-1)/(x^2+4x+2)<0​

Answer 1

Данное выражение заменяем равносильным ему.(Дробь заменяем произведением)

Решение на прикрепленном фото

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞;-√2-2) и (√2-2;1)

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, мы будем исследовать знак выражения $\frac{x-1}{x^2+4x+2}$ на различных интервалах.

1. Находим корни знаменателя:

   Решим уравнение $x^2+4x+2=0$, чтобы найти корни знаменателя:

   $x^2+4x+2=0$

   Используя квадратное уравнение, находим корни:

   $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

   $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2}$

   $x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2}$

   $x = -2 \pm \sqrt{2}$

   Таким образом, корни знаменателя: $x = -2 + \sqrt{2}$ и $x = -2 - \sqrt{2}$.

2. Исследование знака в интервалах:

   Теперь рассмотрим интервалы, образованные корнями знаменателя и другими точками. Для каждого интервала определим знак выражения $\frac{x-1}{x^2+4x+2}$.

   • Интервал $(- \infty, -2 - \sqrt{2})$:

     Возьмем точку на этом интервале, например, $x = -3$.

     $\frac{-3-1}{(-3)^2+4(-3)+2} = \frac{-4}{3} < 0$

     Знак отрицательный на этом интервале.

   • Интервал $(-2 - \sqrt{2}), -2 + \sqrt{2})$:

     Возьмем точку на этом интервале, например, $x = -2.5$.

     $\frac{-2.5-1}{(-2.5)^2+4(-2.5)+2} = \frac{-3.5}{3.75} < 0$

     Знак отрицательный на этом интервале.

   • Интервал $(-2 + \sqrt{2}), +\infty)$:

     Возьмем точку на этом интервале, например, $x = 0$.

     $\frac{0-1}{(0)^2+4(0)+2} = \frac{-1}{2} < 0$

     Знак отрицательный на этом интервале.

3. Собираем результат:

   Мы видим, что выражение $\frac{x-1}{x^2+4x+2}$ отрицательно на всех интервалах: $(- \infty, -2 - \sqrt{2})$, $(-2 - \sqrt{2}), -2 + \sqrt{2})$, и $(-2 + \sqrt{2}), +\infty)$.

Итак, решением неравенства $\frac{x-1}{x^2+4x+2} < 0$ является объединение всех указанных интервалов:

$x \in (-\infty, -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}, +\infty)$