Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=2^x y=4^x x=1

Answer 1

См. график

Границы интегрирование от x₁=0 к x₂=1

По правилу нахождения площади имеем:

$\int\limits^1_0 {4^x-2^x} \, dx =(\frac{4^x}{ln(4)}-\frac{2^x}{ln(2)})\mid^1_0=\frac{4^1}{ln(4)}-\frac{2^1}{ln(2)}-(\frac{4^0}{ln(4)}-\frac{2^0}{ln(2)})=\\\\ =\frac{4}{ln(4)}-\frac{2}{ln(2)}-\frac{1}{ln(4)}+\frac{1}{ln(2)}=\frac{4}{2ln(2)}-\frac{2}{ln(2)}-\frac{1}{2ln(2)}+\frac{1}{ln(2)}=\\\\ =\frac{2}{ln(2)}-\frac{2}{ln(2)}-\frac{1}{2ln(2)}+\frac{1}{ln(2)}=\frac{1}{2ln(2)}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, вам следует определить точки их пересечения и затем проинтегрировать функцию между этими точками по осям x и y.

Сначала найдем точки пересечения линий:

1. Подставим y из первого уравнения во второе: 2^x = 4^x 2^x = (2^2)^x 2^x = 2^(2x)

   Теперь можно приравнять показатели степени: x = 2x

   Разделим обе стороны на x (предполагая, что x ≠ 0): 1 = 2

   Это невозможно, поэтому у нас нет точек пересечения между линиями y = 2^x и y = 4^x.

Следовательно, фигура, ограниченная этими линиями, не существует, и, соответственно, её площадь не может быть вычислена.