Question

Помогите плиз. Докажите, что значение выражения 3^n+3^(n+1)+3^(n+2) кратно 39 при n€N​

Answer 1

Для того, чтобы это доказать нужно вспомнить свойство степеней.

$a^n\times a^m=a^{n+m}$

Теперь можно упростить данное выражение:

$3^n+3^{n+1}+3^{n+2}=3^n+3^1\times3^n+3^2\times3^n=\\=3^n(3^0+3^1+3^2)=3^n(1+3+9)=13\times3^n$

Получили 13×3ⁿ. Теперь какую степень мы бы не взяли, данное выражение можно записать в виде

$13\times3^n=13\times(3^1\times3^{n-1})=39\times3^{n-1}$

ЧТД

Проверка:

Пусть n=3

Подставим данное значение в оба выражения:

$13\times 3^3=13\times27=351\\39\times3^{3-1}=39\times9=351$

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ кратно 39 при $n \in \mathbb{N}$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая $n = 1$: Подставим $n = 1$ в выражение: $3^1 + 3^{1+1} + 3^{1+2} = 3 + 9 + 27 = 39$ Как мы видим, при $n = 1$ выражение равно 39, и 39 действительно кратно 39.

Шаг 2: Предположение индукции: Предположим, что для некоторого положительного целого числа $k$ выражение $3^k + 3^{k+1} + 3^{k+2}$ кратно 39.

Шаг 3: Доказательство для $n = k+1$: Рассмотрим выражение при $n = k+1$: $3^{k+1} + 3^{(k+1)+1} + 3^{(k+1)+2}$ Поскольку мы предположили, что $3^k + 3^{k+1} + 3^{k+2}$ кратно 39, то по индукционному предположению можем записать: $3^k + 3^{k+1} + 3^{k+2} = 39m$ где $m$ - некоторое целое число.

Теперь распишем выражение для $n = k+1$: $3^{k+1} + 3^{(k+1)+1} + 3^{(k+1)+2} = 3 \cdot 3^k + 3 \cdot 3^{k+1} + 9 \cdot 3^{k+1}$ $= 3^k + 3^{k+1} + 9 \cdot 3^{k+1} + 3 \cdot 3^{k+1}$ $= (3^k + 3^{k+1} + 3^{k+2}) + 9 \cdot 3^{k+1}$ $= 39m + 9 \cdot 3^{k+1}$ $= 3(13m + 3^k \cdot 3)$

Так как $13m + 3^k \cdot 3$ - это целое число, выражение $3(13m + 3^k \cdot 3)$ кратно 3, и, следовательно, оно также кратно 39. Таким образом, выражение $3^{k+1} + 3^{(k+1)+1} + 3^{(k+1)+2}$ кратно 39.

Мы доказали индукционный переход, и поэтому, по принципу математической индукции, можно считать, что $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ кратно 39 для всех $n \in \mathbb{N}$.