Question

Решите показательное уравнение: 1)3^(x-1) + 3^(x-2) + 3^(x-3) =13 2)2^(x+1) – 2^(x-1) +2^x = 80

Answer 1

Ответ: на 1) x=3

Объяснение:см прикреплённый файл с решением. Отрицательные степени переводим в числа, умножаем обе части уравнения на 27,затем считаем, сколько всего степеней тройки в левой части, а их 13.Обе части делим на 13,решаем простейшее показательное уравнение, получаем ответ.

Answer 2

Давайте решим данные показательные уравнения по очереди:

1. $3^{x-1} + 3^{x-2} + 3^{x-3} = 13$

Для начала, заметим, что каждый член уравнения можно представить в виде $3^{x-3}$ умноженного на разные степени 3:

$3^{x-1} = 3^2 \cdot 3^{x-3}$
$3^{x-2} = 3^1 \cdot 3^{x-3}$
$3^{x-3} = 3^0 \cdot 3^{x-3}$

Подставим это обратно в уравнение:

$3^2 \cdot 3^{x-3} + 3^1 \cdot 3^{x-3} + 3^0 \cdot 3^{x-3} = 13$

Теперь объединим одинаковые базы и упростим:

$3^{x-3} \cdot (3^2 + 3^1 + 3^0) = 13$
$3^{x-3} \cdot (9 + 3 + 1) = 13$
$13 \cdot 3^{x-3} = 13$

Делим обе стороны на 13:

$3^{x-3} = 1$

Так как любое число, возведенное в степень 0, равно 1, то:

$x - 3 = 0$

Решаем для $x$:

$x = 3$

Итак, решение первого уравнения: $x = 3$.

2. $2^{x+1} - 2^{x-1} + 2^x = 80$

Также, как и в предыдущем уравнении, можно выразить каждый член через $2^x$:

$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$
$2^{x-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$
$2^x = 2^x$

Подставляем обратно в уравнение:

$2 \cdot 2^x - \frac{1}{2} \cdot 2^x + 2^x = 80$

Упрощаем:

$2^x \cdot (2 - \frac{1}{2} + 1) = 80$
$2^x \cdot (\frac{3}{2} + 1) = 80$
$2^x \cdot \frac{5}{2} = 80$

Делим обе стороны на $\frac{5}{2}$:

$2^x = \frac{80}{\frac{5}{2}}$
$2^x = \frac{80 \cdot 2}{5}$
$2^x = \frac{160}{5}$
$2^x = 32$

Теперь можно выразить $x$:

$x = \log_2{32}$

$x = 5$

Итак, решение второго уравнения: $x = 5$.