Question

Найдите промежутки убывания функции, если f(x) = x3 + x2-5x+3

Answer 1

f'=3x²+2x-5

Найдем критические точки. 3x²+2x-5=0; х=((-1±4)/3; х=-5/3; х=1.

Найдем знаки производной при переходе через критич. точки.

_____-5/3______1__________

 +                -              +

функция убывает при х∈[-1 2/3; 1]

Answer 2

Для найти промежутки убывания функции $f(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$, нужно проанализировать производную этой функции и определить, где она отрицательна. Производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$

Чтобы найти значения $x$, для которых $f'(x) < 0$, нужно решить неравенство:

$3x^2 + 2x - 5 < 0$

Можно воспользоваться методом знаков, рассмотрев интервалы на числовой прямой и определив знак производной в каждом из них:

1. Решим уравнение $3x^2 + 2x - 5 = 0$. Найдем корни:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{6}$

Это даёт два корня: $x_1 \approx -1.15$ и $x_2 \approx 1.82$.

2. Изобразим корни на числовой прямой:

cssCopy code
---o-------------o------o---------------
   -1.15         1.82

3. Выберем тестовую точку в каждом из трёх интервалов: $x < -1.15$, $-1.15 < x < 1.82$ и $x > 1.82$. Например, можно взять $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

4. Подставим выбранные тестовые точки в производную и определим её знак на каждом интервале:

   • $f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 > 0$
   • $f'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 5 = -5 < 0$
   • $f'(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 5 = 12 + 4 - 5 = 11 > 0$

Исходя из этого, можно сделать вывод:

• Промежуток убывания: $-1.15 < x < 1.82$

На этом интервале функция $f(x)$ убывает, так как её производная отрицательна.