Question

Пусть G=Z/20 Z, H={0,5,10,15}. Сколько элементов в факторгруппе G / H?

Answer 1

Ответ:

$|G/H|=5$

Объяснение:

По определению факторгруппы, "a" эквивалентно "b" тогда и только тогда, когда $(a-b) \in H$

Выберем какой-нибудь элемент группы $c \in G$. Подсчитаем, сколько элементов из группы эквивалентно этому элементу

Понятно, что таких элементов ровно 4 штуки:

-- $c-c=0 \in H$

-- $c-x=5 \in H \quad x = 5 - c$

-- $c-y=10 \in H \quad y = 10 - c$

-- $c-z=15 \in H \quad z = 15 - c$

Докажем, что например $z \neq y$

Действительно, иначе было бы $15-c=10-c$

Отсюда $15=10$, что попросту неверно в $G=Z/20Z$

Аналогично рассматриваются другие случаи. Таким образом, любому элементу $c \in G$ эквивалентно ровно 4 элемента группы G(включая сам элемент $c$). К тому же, в группе $G$ содержится 20 элементов

Таким образом, в факторгруппе содержится $\frac{20}{4}=5$

Answer 2

Для того чтобы найти количество элементов в факторгруппе G / H, нужно выполнить деление мощности группы G на мощность подгруппы H.

Мощность группы G можно определить как порядок мультипликативной группы Z/20Z, который равен 20, так как элементы в этой группе представляют собой классы вычетов по модулю 20.

Мощность подгруппы H равна количеству элементов в ней, то есть 4 (0, 5, 10, 15).

Теперь можно найти количество элементов в факторгруппе G / H:

|G / H| = |G| / |H| = 20 / 4 = 5.

Итак, факторгруппа G / H содержит 5 элементов.