Question

Х^2 log 243 (4-x)<= log 3 (x-4)^2

Answer 1

Ответ:

$x^2\cdot log_{243}(4-x)\leq log_3(x-4)^2\ \ ,\\\\ODZ:\ \ \left\{\begin{array}{ccc}4-x>0\\(x-4)^2>0\end{array}\right\ \left\{\begin{array}{ccc}x$

Используем метод рационализации, так как  $log_3\, t$  функция возрастающая , то знак   $log_3\, t$  совпадает со знаком  ( t-1 ) . Знак  $log_3(4-x)$  совпадает со знаком  $(\, (4-x)-1)=3-x\ .$

$(3-x)\cdot \dfrac{x^2-10}{5}\leq 0\ \ \to \ \ \ (x-3)(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})\geq 0\ ,\ (x$

Answer 2

Давайте посмотрим на данное неравенство и попробуем его решить. Начнем с переписывания логарифмов с различными основаниями в общей форме.

Исходное неравенство:

$x^2 \log_{243} (4-x) \leq \log_3 (x-4)^2.$

Для удобства рассмотрим базы логарифмов: $243 = 3^5$.

Теперь мы можем переписать логарифмы в более удобной форме:

$x^2 \frac{\log_{3}(4-x)}{\log_{3}(3^5)} \leq \log_3 (x-4)^2.$

Упростим выражение в левой части:

$x^2 \frac{\log_{3}(4-x)}{5\log_{3}(3)} \leq \log_3 (x-4)^2.$

$\frac{x^2}{5} \cdot \frac{\log_{3}(4-x)}{\log_{3}(3)} \leq \log_3 (x-4)^2.$

Заметим, что $\frac{\log_{3}(4-x)}{\log_{3}(3)} = \log_{3}(3-x)$, так как $\log_{a}(b) - \log_{a}(c) = \log_{a} \left(\frac{b}{c}\right)$. Таким образом:

$\frac{x^2}{5} \cdot \log_{3}(3-x) \leq \log_3 (x-4)^2.$

Теперь избавимся от логарифмов, возводя обе стороны неравенства в степень 3:

$\left(\frac{x^2}{5}\right)^3 \cdot \log_{3}(3-x)^3 \leq \left(\log_3 (x-4)^2\right)^3.$

$\frac{x^6}{125} \cdot \log_{3}(3-x)^3 \leq \log_3 (x-4)^6.$

Уберем логарифмы, возводя обе стороны неравенства в степень $\frac{1}{6}$:

$\left(\frac{x^6}{125}\right)^{\frac{1}{6}} \cdot \left(\log_{3}(3-x)^3\right)^{\frac{1}{6}} \leq \left(\log_3 (x-4)^6\right)^{\frac{1}{6}}.$

$\left(\frac{x^6}{125}\right)^{\frac{1}{6}} \cdot \log_{3}(3-x) \leq \left(\log_3 (x-4)\right).$