Question

Объясните отбор корней пж а) 2√2sin(x+п/3)+2cos²x=2+√6 cosxб) отобрать корни на отрезке [-3п; -3п/2]можно без неравенств, они еще больше путают меняхотя бы на окружности ​

Answer 1

sin(x+pi/3)=sinx*1/2+cosx*√3/2

подставляя это, получу

√2*sinx+√6*cosx+2cos^2x=2+√6*cosx

2(1-sin^2x)+√2*sinx-2=0

-2sin^2x+√2*sinx=0-делю все на (-2)

sin^2x-sinx/√2=0

sinx(sinx-1/√2)=0

sinx=0; x1=pik; k⊂Z

sinx=√2/2; x2=pi/4+2pin;x3=3pi/4+2pin;n⊂Z

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с этими уравнениями.

а) Для начала, давайте рассмотрим уравнение: $2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{3})+2\cos^2(x)=2+\sqrt{6}\cos(x).$

Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем попытаться преобразовать его так, чтобы на одной стороне остались только тригонометрические функции, а на другой - константы. Давайте начнем с этого:

$2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{3})+2\cos^2(x)-2-\sqrt{6}\cos(x) = 0.$

Теперь давайте объединим тригонометрические функции с помощью тригонометрических тождеств. Напомню некоторые из них:

• $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
• $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$

Применим их к нашему уравнению: $2\sqrt{2}\left(\sin(x)\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{3})\right) + 2\left(1 - \sin^2(x)\right) - 2 - \sqrt{6}\cos(x) = 0.$

Упростим: $2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x)\right) + 2 - 2\sin^2(x) - \sqrt{6}\cos(x) = 0.$

Продолжим упрощать: $\sqrt{6}\sin(x) + \sqrt{2}\cos(x) + 2 - 2\sin^2(x) - \sqrt{6}\cos(x) = 0.$

Теперь мы видим, что $\sqrt{6}\sin(x)$ и $-\sqrt{6}\cos(x)$ уничтожают друг друга, так как они равны по модулю, но имеют разные знаки. Также заметим, что $2$ - это просто константа.

$2 - 2\sin^2(x) = 0.$

Это уравнение можем решить относительно $\sin^2(x)$:

$\sin^2(x) = 1.$

Извлекаем корни:

$\sin(x) = \pm 1.$

Таким образом, корни уравнения $2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{3})+2\cos^2(x)=2+\sqrt{6}\cos(x)$ на интервале $[0, 2\pi)$ будут:

$x_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6},$