Question

Какое из следующих уравнений имеет иррациональные корни ? 1) 5x²+4x+8=0 2) -3x²-3x+6=0 3) 4x²-4x+1=0 4) -9x²-5x+7=0

Answer 1

$5x^2 + 4x + 8 = 0\\\frac{D}{4} = 4 - 40 = -36 = (6i)^2\\ x_1_,_2 = -2\pm6i\\----\\-3x^2-3x+6=0\\x^2 + x - 2 = 0\\D = 1 + 8 = 9 = 3^2\\x_1_,_2=\frac{-1\pm3}{2} = -2, 1\\ -----\\4x^2-4x+1=0\\(2x-1)^2=0\\2x - 1 = 0\\x = \frac{1}{2}\\ -----\\-9x^2-5x+7=0\\9x^2+5x-7=0\\D = 25 + 36*7 = 277 = (\sqrt{277})^2\\x_1_,_2 = \frac{-5\pm\sqrt{277}}{18}$

Answer 2

Уравнение имеет иррациональные корни, если дискриминант этого уравнения является положительным числом, но не является точным квадратом целого числа. Дискриминант уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется как $D = b^2 - 4ac$.

Рассмотрим каждое из предоставленных уравнений:

1. $5x^2 + 4x + 8 = 0$ Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 16 - 160 = -144$ (отрицательный) У этого уравнения нет действительных корней, не говоря уже о иррациональных.

2. $-3x^2 - 3x + 6 = 0$ Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 6 = 9 + 72 = 81$ (положительный) Дискриминант положителен, но является точным квадратом ($9 = 3^2$). У этого уравнения также нет иррациональных корней.

3. $4x^2 - 4x + 1 = 0$ Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$ (нулевой) Дискриминант равен нулю, что означает, что уравнение имеет два одинаковых корня. Однако это не иррациональные корни.

4. $-9x^2 - 5x + 7 = 0$ Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot (-9) \cdot 7 = 25 + 252 = 277$ (положительный) Дискриминант положителен и не является точным квадратом. Это уравнение имеет иррациональные корни.

Итак, из предоставленных уравнений только уравнение $4x^2 - 4x + 1 = 0$ имеет корни, но они не являются иррациональными. Уравнение $-9x^2 - 5x + 7 = 0$ имеет иррациональные корни.