Question

При каких m уравнение (m - 3)x^2 - 6x + m + 5 = 0 имеет корни? Исследовать их знаки при различных m.

Answer 1

Ответ:

[$-1-\sqrt{13} ; -1+\sqrt{13}$ ]

Объяснение:

(m - 3)x² - 6x + m + 5 = 0

Имеет корни, если Д≥0.

Д=36-4*(m - 3)*(m + 5 )=-4m²-8m +96=-4(m²+2m-12).

-4<0 ⇒  (m²+2m-12)≤0 .

Корни  m²+2m-12=0  ,Д=4+48=52=4*13

х1=$\frac{-2+2\sqrt{13} }{2} =-1+\sqrt{13}$

х2=$\frac{-2-2\sqrt{13} }{2} =-1-\sqrt{13}$

m²+2m-12≤0 , метод интервалов

+ + + + [$-1-\sqrt{13}$ ]- - - - - - - {$-1+\sqrt{13}$ ]+ + + + + +

х∈{$-1-\sqrt{13} ; -1+\sqrt{13}$ ]

Исследуем  знаки корней  при различных m.

$x^{2} -\frac{6}{m-3} *x+\frac{m+5}{m-3} =0$

Если $\frac{m+5}{m-3} >0$ , то корни одинаковых знаков.По методу интервалов имеем + + + +(-5)- - - - -(3)+ + + + . Корни одинаковых знаков если m∈(-∞ ;-5)∪(3 ;+∞).

Если $\frac{m+5}{m-3}$ , то корни разных знаков.По методу интервалов имеем + + + +(-5)- - - - -(3)+ + + + . Корни разных знаков знаков если m∈(-5 ; 3 ).

Если $\frac{m+5}{m-3} =0$ ,т.е m=-5  то уравнение x²+$\frac{3}{4}$*x=0  и корни 0 и -3\4.

Answer 2

Для того чтобы уравнение квадратного трёхчлена имело корни, дискриминант этого уравнения должен быть положительным числом.

Уравнение (m - 3)x^2 - 6x + m + 5 = 0 имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где: a = (m - 3) b = -6 c = (m + 5)

Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

Подставим значения a, b и c в формулу дискриминанта: D = (-6)^2 - 4(m - 3)(m + 5) D = 36 - 4(m^2 + 5m - 3m - 15) D = 36 - 4(m^2 + 2m - 15) D = 36 - 4m^2 - 8m + 60 D = -4m^2 - 8m + 96

Для того чтобы уравнение имело корни, дискриминант D должен быть положительным: -4m^2 - 8m + 96 > 0

Упростим неравенство, разделив его на -4 (при этом меняем направление неравенства, так как делим на отрицательное число): m^2 + 2m - 24 < 0

Теперь нужно решить это неравенство с учётом знака выражения m^2 + 2m - 24 при различных значениях m.

Для этого найдём корни уравнения m^2 + 2m - 24 = 0: (m + 6)(m - 4) = 0

Корни: m = -6 и m = 4.

Теперь мы знаем, что функция m^2 + 2m - 24 меняет знак с отрицательного на положительный при m < -6, с положительного на отрицательный при -6 < m < 4 и снова с отрицательного на положительный при m > 4.

Таким образом, исследование знаков корней уравнения зависит от значения параметра m:

1. Если m < -6, то дискриминант положителен, и уравнение имеет два корня с положительными знаками.
2. Если -6 < m < 4, то дискриминант положителен, и уравнение имеет два корня, один с положительным знаком, другой — с отрицательным.
3. Если m > 4, то дискриминант положителен, и уравнение имеет два корня с отрицательными знаками.
4. Если m = -6 или m = 4, то дискриминант равен нулю, и уравнение имеет один корень.

Надеюсь, это решение помогло вам разобраться в исследовании знаков корней уравнения для различных значений m.