Question

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Когда таблица заполнена только единицами сумма произведений в строках и столбцах равна 50. При добавлении в таблицу (-1) произведение по столбцу может измениться на +2 или -2, аналогично по строке изменение произведения может составить либо +2 либо -2. Общее изменение суммы, таким образом, будет либо  -4, либо  0, либо +4. Так как шаг изменения равен 0 или кратен 4, а начальная сумма не делится на 4, то ни на каком шаге мы не получим нулевую сумму произведений по строкам и столбцам.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение методом математической индукции.

Пусть у нас есть квадратная таблица 25 x 25 с числами 1 и -1, и мы записали произведения столбцов и строк. Для удобства, обозначим произведение чисел в столбце как C1, C2, ..., C25, а произведение чисел в строке как R1, R2, ..., R25.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1). Рассмотрим таблицу 1 x 1. Она имеет всего одно число, которое может быть либо 1, либо -1. В этом случае, единственное произведение столбца и строки будет равно этому числу. Таким образом, сумма единственного произведения не равна нулю.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для таблицы размером k x k, где k - некоторое натуральное число.

Шаг 3: Шаг индукции. Рассмотрим таблицу (k + 1) x (k + 1). Мы можем представить ее как таблицу k x k, к которой добавили один столбец и одну строку.

Пусть T1, T2, ..., Tk - это произведения столбцов в таблице k x k, и S1, S2, ..., Sk - произведения строк. Также пусть T(k+1) - это произведение чисел в добавленном столбце, а S(k+1) - произведение чисел в добавленной строке.

Теперь рассмотрим сумму всех произведений столбцов и строк в таблице (k + 1) x (k + 1):

Сумма = (T1 + T2 + ... + Tk + T(k+1)) + (S1 + S2 + ... + Sk + S(k+1))

Мы знаем, что сумма произведений столбцов и строк в таблице k x k не равна нулю (по предположению индукции). Таким образом, первое слагаемое в скобках (T1 + T2 + ... + Tk + T(k+1)) не равно нулю.

Аналогично, второе слагаемое в скобках (S1 + S2 + ... + Sk + S(k+1)) также не равно нулю, так как сумма произведений строк в таблице k x k не равна нулю.

Следовательно, сумма всех произведений столбцов и строк в таблице (k + 1) x (k + 1) не равна нулю.

Мы доказали утверждение для всех n от 1 до 25 по методу математической индукции. Таким образом, сумма 50 написанных произведений в таблице 25 x 25 не может быть равной нулю.