Question

Найти точки перегиба графика функции y=e^(1/x)

Answer 1

$y=e^\frac{1}{x}$

Найдем вторую производную функции:

$y'=e^\frac{1}{x} \cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)'=e^\frac{1}{x} \cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-e^\frac{1}{x} x^{-2}$

$y''=-\left(\left(e^\frac{1}{x}\right)' \cdot x^{-2}+e^\frac{1}{x}\cdot(x^{-2})'\right)=\\=-\left(e^\frac{1}{x}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right) \cdot x^{-2}+e^\frac{1}{x}\cdot(-2x^{-3})\right)=\\=e^\frac{1}{x}\cdot\left(\dfrac{1}{x^2}\right) \cdot x^{-2}+e^\frac{1}{x}\cdot2x^{-3}=e^\frac{1}{x}\cdot\left(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{2}{x^3}\right) =e^\frac{1}{x}\cdot\dfrac{1+2x}{x^4}$

Вторая производная обращается в ноль при $1+2x=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

Вторая производная не существует при $x=0$

Рассмотрим знаки второй производной (картинка).

Как видно, при переходе через точку $x=-\dfrac{1}{2}$ вторая производная меняет знак. Значит, это и есть точка перегиба.

Ответ: -1/2

Answer 2

Чтобы найти точки перегиба графика функции $y = e^{1/x}$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую и вторую производные функции $y = e^{1/x}$.
2. Решите уравнение $f''(x) = 0$ для поиска точек перегиба.

Давайте начнем с первого шага:

Первая производная функции $y = e^{1/x}$: $f(x) = e^{1/x}$ $f'(x) = -\frac{1}{x^2}e^{1/x}$

Вторая производная функции $y = e^{1/x}$: $f''(x) = \frac{2}{x^3}e^{1/x} - \frac{1}{x^4}e^{1/x}$

Теперь перейдем ко второму шагу:

Решим уравнение $f''(x) = 0$: $\frac{2}{x^3}e^{1/x} - \frac{1}{x^4}e^{1/x} = 0$ $2e^{1/x} - \frac{1}{x}e^{1/x} = 0$ $e^{1/x}(2 - \frac{1}{x}) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $e^{1/x} = 0$ - это невозможно, так как экспонента никогда не равна нулю.
2. $2 - \frac{1}{x} = 0$ - решая это уравнение, найдем $x = \frac{1}{2}$.

Таким образом, у нас есть одна точка перегиба $x = \frac{1}{2}$.

Обратите внимание, что данная функция имеет много экстремумов и особенностей, и точка перегиба не является единственной интересной точкой на графике. Рекомендуется провести анализ поведения функции в различных областях и нарисовать график, чтобы лучше понять её свойства.