Question

А я снова с тригонометрией)) вычислите значение 3sin a, если 2 cos^2 a + √5 sina * cosa=03pi/2<a<2pi ​

Answer 1

2cos²α+√5sinα·cosα=0

cosα(2cosα+√5sinα)=0

cosα=0   или    2cosα++√5sinα=0

cosα=0  ⇒α=(π/2)+πk, k∈Z

Так как   3π/2<α<2π⇒  угол α в четвертой четверти

ни одно из найденных значений не удовлетворяет.

2cosα+√5sinα=0

Делим на cosα

tgα=-2/√5

ctgα=-√5/2

1+ctg²α=1/sin²α⇒  sin²α=1/(1+(5/4))=4/9

sinα=-√(4/9)=-2/3  ( синус в четвертой четверти имеет знак минус)

3sinα=3·(-2/3)=-2

​

Answer 2

Дано уравнение: $2 \cos^2 a + \sqrt{5} \sin a \cdot \cos a = 0$, где $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$.

Давайте попробуем решить это уравнение:

Перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества: $2 \cos^2 a + \sqrt{5} \sin a \cdot \cos a = 2 (1 - \sin^2 a) + \sqrt{5} \sin a \cdot \cos a = 2 - 2\sin^2 a + \sqrt{5} \sin a \cdot \cos a$

Так как у нас есть $\sqrt{5} \sin a \cdot \cos a$, давайте попробуем выразить это выражение через $\sin 2a$, так как $\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a$: $\sqrt{5} \sin a \cdot \cos a = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 2 \sin a \cdot \cos a = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin 2a$

Теперь подставим это обратно в уравнение: $2 - 2\sin^2 a + \frac{\sqrt{5}}{2} \sin 2a = 0$

Далее, перепишем $2\sin^2 a$ как $1 - \cos 2a$: $2 - (1 - \cos 2a) + \frac{\sqrt{5}}{2} \sin 2a = 1 + \cos 2a + \frac{\sqrt{5}}{2} \sin 2a = 0$

Теперь мы имеем уравнение, содержащее $\cos 2a$ и $\sin 2a$, которые могут быть связаны через тождество $\cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a$: $1 + (1 - 2 \sin^2 a) + \frac{\sqrt{5}}{2} \sin 2a = 2 - 2 \sin^2 a + \frac{\sqrt{5}}{2} \sin 2a = 0$

Далее, решим это уравнение относительно $\sin 2a$: $\frac{\sqrt{5}}{2} \sin 2a = -2 + 2 \sin^2 a$

$\sin 2a = -\frac{4}{\sqrt{5}} + 2 \sin^2 a$

Теперь используем тождество $\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$