Question

1) Докажите, что при любом натуральном n число 21^n + 4^(n+2) делится на 17 2)Найти последние две цифры числа 7^302

Answer 1

1) $21^n+4^{n+2}\equiv 4^n+16\times 4^n \equiv 17\times 4^n\equiv 0\mod17$

2) требуется вычислить $7^{302} \mod100$. По модулю 25: $7^2 \equiv -1 \mod 25$, поэтому $(7^2)^{151}\equiv (-1)^{151}\equiv -1 \mod 25$. По модулю 4: $7^2\equiv 1 \mod 4$, поэтому $(7^2)^{151}\equiv 1\mod 4$. По китайской теореме об остатках решение единственно по модулю $25\times 4=100$ и равно $-1\times 4\times 19+1\times 25\times 1=-51\equiv 49\mod100$ (результат прямого применения теоремы). Итак, число оканчивается на 49

Answer 2

1. Чтобы доказать, что выражение $21^n + 4^{n+2}$ делится на 17 при любом натуральном $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг: Для $n = 1$: $21^1 + 4^{1+2} = 21 + 4^3 = 21 + 64 = 85$, что не делится на 17.

Индукционное предположение: Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $21^k + 4^{k+2}$ делится на 17.

Индукционный переход: Докажем, что если утверждение верно для $k$, то оно также верно и для $k+1$: $21^{k+1} + 4^{(k+1)+2} = 21 \cdot 21^k + 4^{k+3} = 21 \cdot 21^k + 4^3 \cdot 4^k = 21 \cdot 21^k + 64 \cdot 4^k$.

Используя индукционное предположение, мы знаем, что $21^k + 4^{k+2}$ делится на 17. Также, 17 и 4 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), и поэтому можем воспользоваться следующим свойством: если $a$ делится на 17, и $b$ не имеет общих делителей с 17, то их произведение $a \cdot b$ также делится на 17.

Итак, мы видим, что оба слагаемых $21 \cdot 21^k$ и $64 \cdot 4^k$ делятся на 17 (первое - в силу индукционного предположения, а второе - так как 64 делится на 17). Следовательно, их сумма $21 \cdot 21^k + 64 \cdot 4^k$ также делится на 17.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для $k$, то оно также верно и для $k+1$, что завершает индукционный шаг.

Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$, и $21^n + 4^{n+2}$ действительно делится на 17.

2. Для того чтобы найти последние две цифры числа $7^{302}$, можно воспользоваться цикличностью последних двух цифр степеней числа 7. Начнем с некоторых низких степеней 7 и посмотрим на их последние две цифры:

$7^1 = 07$ $7^2 = 49$ $7^3 = 43$ $7^4 = 01$ $7^5 = 07$ ...

Вы видите, что последние две цифры образуют цикл 07, 49, 43, 01. Каждые четыре степени, начиная с 7^4, дают последние две цифры 01.

Теперь давайте разделим 302 на 4: $302 = 4 \cdot 75 + 2$

Это означает, что $7^{302}$ можно представить как $7^{4 \cdot 75 + 2} = (7^4)^{75} \cdot 7^2$. Нам известно, что $7^4$ завершается на 01, так что $(7^4)^{75}$ также завершается на 01. А $7^2 = 49$.

Итак, последние две цифры числа $7^{302}$ будут 01 * 49 = 49.